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组合优化与凸优化 学习笔记5 对偶拉格朗日函数

news 2025/7/7 10:43:56

有的时候约束条件有点难搞，我们可以把它放到目标函数里面。

记得之前凸函数的时候的结论吗？一大堆函数，每一段都取最大的，最后会得到一个凸函数。同理，每一段都取最小的，得到的是一个凹函数。就这样，我们强行把问题变成了一个凹函数，就算原本的f(x)既不凸也不凹。

可以看到之前的对偶函数是最优值的下界，毕竟加了一大堆0或者比0还小的东西。

一个例题：

其实就是和高数里面求给定条件的极大极小值用的方法，一模一样。

拉格朗日对偶问题

拉格朗日函数是原本问题的下界，现在我们要求这个函数最大是多少，这样就可以尽量靠近原始函数了。

弱对偶性

这是一个非常强的条件：

Slater条件

但显然这个条件不总是成立。那要怎么样才能保证成立呢？

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