微积分-反函数6.5(指数增长和衰减)
在许多自然现象中,数量的增长或衰减与其大小成正比。例如,如果 y = f ( t ) y = f(t) y=f(t) 表示在时间 t t t 时某种动物或细菌种群的个体数量,那么似乎可以合理地假设增长速率 f ’ ( t ) f’(t) f’(t) 与种群 f ( t ) f(t) f(t) 成正比,即 f ’ ( t ) = k f ( t ) f’(t) = kf(t) f’(t)=kf(t),其中 k k k 是某个常数。实际上,在理想条件下(无限的环境、充分的营养、免疫疾病),该方程 f ’ ( t ) = k f ( t ) f’(t) = kf(t) f’(t)=kf(t) 相当准确地预测了实际发生的情况。另一个例子出现在核物理学中,放射性物质的质量以与其质量成正比的速率衰减。在化学中,一阶单分子反应的反应速率与物质的浓度成正比。在金融领域,一个储蓄账户的价值随着连续复利利息的增长而以与其价值成正比的速率增长。
一般而言,如果 y ( t ) y(t) y(t) 是某个数量在时间 t t t 的值,并且该数量相对于时间 t t t 的变化率与其当前大小 y ( t ) y(t) y(t) 成正比,则可以表示为:
d y d x = k y (1) \frac{dy}{dx}=ky \tag{1} dxdy=ky(1)
其中 k k k 是常数。方程 1 有时被称为自然增长定律(如果 k > 0 k > 0 k>0)或自然衰减定律(如果 k < 0 k < 0 k<0)。它被称为微分方程,因为它涉及未知函数 y y y 及其导数 d y d t \frac{dy}{dt} dtdy。
解此方程并不难。该方程要求我们找到一个其导数是其自身常数倍的函数。任何形如 y ( t ) = C e k t y(t) = Ce^{kt} y(t)=Cekt 的指数函数都满足该方程,其中 C C C 是常数。
因此,满足 y ( 0 ) = C e k ⋅ 0 = C y(0) = Ce^{k \cdot 0} = C y(0)=Cek⋅0=C,故 C C C 是函数的初始值。
定理 2 该微分方程 d y d t = k y \frac{dy}{dt} = ky dtdy=ky 的唯一解是指数函数:
y ( t ) = y ( 0 ) e k t y(t) = y(0)e^{kt} y(t)=y(0)ekt
人口增长
比例常数 k k k 的意义是什么?在人口增长的背景下,假设 P ( t ) P(t) P(t) 是时间 t t t 时的人口规模,我们可以写为:
d P d t = k P or 1 P d P d t = k (3) \frac{dP}{dt} = kP \quad \text{or} \quad \frac{1}{P} \frac{dP}{dt} = k \tag{3} dtdP=kPorP1dtdP=k(3)
其中:
1 P d P d t \frac{1}{P} \frac{dP}{dt} P1dtdP
是增长率除以人口规模;它被称为相对增长率。
根据等式 (3),我们可以说“相对增长率是常数”,而不是说“增长率与人口规模成正比”。由此可得出结论,具有常数相对增长率的人口必须指数增长。注意,相对增长率 k k k 作为指数函数 C e k t Ce^{kt} Cekt 中的时间系数出现。例如:
d P d t = 0.02 P \frac{dP}{dt} = 0.02P dtdP=0.02P
如果 t t t 以年为单位,则相对增长率 k = 0.02 k = 0.02 k=0.02,人口以每年 2% 的速率增长。如果时间 t = 0 t = 0 t=0 时的人口为 P 0 P_0 P0,则人口的表达式为:
P ( t ) = P 0 e 0.02 t P(t) = P_0 e^{0.02t} P(t)=P0e0.02t
例1 利用以下事实:世界人口在 1950 年为 25.6 亿,在 1960 年为 30.4 亿,建立 20 世纪下半叶世界人口的模型。(假设增长率与人口规模成正比。)相对增长率是多少?使用该模型估计 1993 年的世界人口,并预测 2020 年的人口。
解 我们以年为单位测量时间 t t t,设 t = 0 t = 0 t=0 对应 1950 年。我们以百万人为单位衡量人口 P ( t ) P(t) P(t)。那么 P ( 0 ) = 2560 P(0) = 2560 P(0)=2560 且 P ( 10 ) = 3040 P(10) = 3040 P(10)=3040。由于我们假设 d P d t = k P \frac{dP}{dt} = kP dtdP=kP,根据定理 2,得到:
P ( t ) = P ( 0 ) e k t = 2560 e k t P ( 10 ) = 2560 e 10 k = 3040 k = 1 10 ln 3040 2560 ≈ 0.017185 \begin{align*} P(t) &= P(0) e^{kt} = 2560 e^{kt}\\ P(10) &= 2560 e^{10k} = 3040\\ k &= \frac{1}{10} \ln \frac{3040}{2560} \approx 0.017185 \end{align*} P(t)P(10)k=P(0)ekt=2560ekt=2560e10k=3040=101ln25603040≈0.017185
相对增长率大约为每年 1.7%,模型为:
P ( t ) = 2560 e 0.017185 t P(t) = 2560 e^{0.017185 t} P(t)=2560e0.017185t
我们估计 1993 年的世界人口为:
P ( 43 ) = 2560 e 0.017185 ( 43 ) ≈ 5360 million P(43) = 2560 e^{0.017185(43)} \approx 5360 \text{million} P(43)=2560e0.017185(43)≈5360million
模型预测 2020 年的人口为:
P ( 70 ) = 2560 e 0.017185 ( 70 ) ≈ 8524 million P(70) = 2560 e^{0.017185(70)} \approx 8524 \text{million} P(70)=2560e0.017185(70)≈8524million
放射性衰变
放射性物质通过自发发射辐射而衰变。如果 m ( t ) m(t) m(t) 是在时间 t t t 后剩余的初始质量 m 0 m_0 m0,那么相对衰变率为:
− 1 m d m d t -\frac{1}{m} \frac{dm}{dt} −m1dtdm
实验表明这是常数。(由于 d m d t \frac{dm}{dt} dtdm 是负数,因此相对衰变率是正数。)因此可以得出:
d m d t = k m \frac{dm}{dt} = km dtdm=km
其中 k k k 是负常数。换句话说,放射性物质以与剩余质量成正比的速率衰变。这意味着我们可以使用公式 (2) 来证明质量指数衰减:
m ( t ) = m 0 e k t m(t) = m_0 e^{kt} m(t)=m0ekt
物理学家使用半衰期来表达衰变速率,即某一物质衰减到一半所需的时间。
例2 镭-226 的半衰期是 1590 年。
(a) 一个镭-226 样品的质量为 100 mg,找出该样品在 t t t 年后剩余质量的公式。
(b) 精确到毫克,求 1000 年后剩余的质量。
(c) 剩余质量何时减少到 30 mg?
解
(a) 设 m ( t ) m(t) m(t) 为镭-226 剩余的质量(单位:毫克),那么在 t t t 年后有:
d m d t = k m and m ( 0 ) = 100 \frac{dm}{dt} = km \quad \text{and} \quad m(0) = 100 dtdm=kmandm(0)=100
根据公式 (2),得到:
m ( t ) = m ( 0 ) e k t = 100 e k t m(t) = m(0) e^{kt} = 100 e^{kt} m(t)=m(0)ekt=100ekt
为了确定 k k k 的值,利用 m ( 1590 ) = 1 2 ( 100 ) m(1590) = \frac{1}{2}(100) m(1590)=21(100),因此:
100 e 1590 k = 50 so e 1590 k = 1 2 100 e^{1590k} = 50 \quad \text{so } \quad e^{1590k} = \frac{1}{2} 100e1590k=50so e1590k=21
1590 k = ln 1 2 = − ln 2 1590k = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 1590k=ln21=−ln2
k = − ln 2 1590 k = \frac{-\ln 2}{1590} k=1590−ln2
因此:
m ( t ) = 100 e − ( ln 2 ) t / 1590 m(t) = 100 e^{-(\ln 2)t/1590} m(t)=100e−(ln2)t/1590
我们可以利用 ln 2 = 2 \ln 2 = 2 ln2=2 来将 m ( t ) m(t) m(t) 表达为另一种形式:
m ( t ) = 100 × 2 − t / 1590 m(t) = 100 \times 2^{-t/1590} m(t)=100×2−t/1590
(b) 1000 年后的质量为:
m ( 1000 ) = 100 e − ( ln 2 ) ( 1000 ) / 1590 ≈ 65 mg m(1000) = 100 e^{-(\ln 2)(1000)/1590} \approx 65 \text{mg} m(1000)=100e−(ln2)(1000)/1590≈65mg
(c) 我们要求 t t t,使得 m ( t ) = 30 m(t) = 30 m(t)=30,即:
100 e − ( ln 2 ) t / 1590 = 30 或 e − ( ln 2 ) t / 1590 = 0.3 100 e^{-(\ln 2)t/1590} = 30 \quad \text{或} \quad e^{-(\ln 2)t/1590} = 0.3 100e−(ln2)t/1590=30或e−(ln2)t/1590=0.3
通过取两边的自然对数解 t t t:
− ln 2 1590 t = ln 0.3 \frac{-\ln 2}{1590} t = \ln 0.3 1590−ln2t=ln0.3
因此:
t = − 1590 ln 0.3 ln 2 ≈ 2762 years t = \frac{-1590 \ln 0.3}{\ln 2} \approx 2762 \text{years} t=ln2−1590ln0.3≈2762years
为了验证我们的结果,使用图表工具绘制 m ( t ) m(t) m(t) 的图形并画出 m = 30 m = 30 m=30 的水平线。这两条曲线在 t ≈ 2800 t \approx 2800 t≈2800 时相交,与©部分的答案一致。
牛顿冷却定律
牛顿冷却定律指出,物体的冷却速率与物体和其周围环境之间的温差成正比,前提是这个温差不太大。(该定律同样适用于加热。)如果我们设 T ( t ) T(t) T(t) 为物体在时间 t t t 时的温度, T s T_s Ts 为环境的温度,那么我们可以将牛顿冷却定律表述为以下微分方程:
d T d t = k ( T − T s ) \frac{dT}{dt} = k(T - T_s) dtdT=k(T−Ts)
其中 k k k 是常数。这个方程与方程 (1) 不完全相同,因此我们作变量替换 y ( t ) = T ( t ) − T s y(t) = T(t) - T_s y(t)=T(t)−Ts。因为 T s T_s Ts 是常数,所以我们有 y ’ ( t ) = T ’ ( t ) y’(t) = T’(t) y’(t)=T’(t),因此方程变为:
d y d t = k y \frac{dy}{dt} = ky dtdy=ky
然后我们可以使用公式 (2) 来找到 y y y 的表达式,从而找到 T T T。
Here is the translation of the content in markdown format:
例3 一瓶室温 72°F 的汽水被放置在温度为 44°F 的冰箱中。半小时后,汽水的温度已经降到 61°F。
(a) 再过半小时后,汽水的温度是多少?
(b) 汽水冷却到 50°F 需要多长时间?
解
(a) 设 T ( t ) T(t) T(t) 为 t t t 分钟后汽水的温度。环境温度为 T s = 4 4 ∘ F T_s = 44^\circ\text{F} Ts=44∘F,因此根据牛顿冷却定律:
d T d t = k ( T − 44 ) \frac{dT}{dt} = k(T - 44) dtdT=k(T−44)
如果我们令 y = T − 44 y = T - 44 y=T−44,那么 y ( 0 ) = T ( 0 ) − 44 = 72 − 44 = 28 y(0) = T(0) - 44 = 72 - 44 = 28 y(0)=T(0)−44=72−44=28,因此 y y y 满足:
d y d t = k y y ( 0 ) = 28 \frac{dy}{dt} = ky \quad y(0) = 28 dtdy=kyy(0)=28
根据公式 (2),我们有:
y ( t ) = y ( 0 ) e k t = 28 e k t y(t) = y(0) e^{kt} = 28 e^{kt} y(t)=y(0)ekt=28ekt
已知 T ( 30 ) = 61 T(30) = 61 T(30)=61,因此 y ( 30 ) = 61 − 44 = 17 y(30) = 61 - 44 = 17 y(30)=61−44=17,得到:
28 e 30 k = 17 即 e 30 k = 17 28 28 e^{30k} = 17 \quad \text{即} \quad e^{30k} = \frac{17}{28} 28e30k=17即e30k=2817
通过取对数,我们得到:
k = ln ( 17 28 ) 30 ≈ − 0.01663 k = \frac{\ln \left( \frac{17}{28} \right)}{30} \approx -0.01663 k=30ln(2817)≈−0.01663
因此:
y ( t ) = 28 e − 0.01663 t y(t) = 28 e^{-0.01663t} y(t)=28e−0.01663t
T ( t ) = 44 + 28 e − 0.01663 t T(t) = 44 + 28 e^{-0.01663t} T(t)=44+28e−0.01663t
T ( 60 ) = 44 + 28 e − 0.01663 ( 60 ) ≈ 54.3 T(60) = 44 + 28 e^{-0.01663(60)} \approx 54.3 T(60)=44+28e−0.01663(60)≈54.3
因此,再过半小时汽水冷却到约 54°F。
(b) 当 T ( t ) = 50 T(t) = 50 T(t)=50 时:
44 + 28 e − 0.01663 t = 50 44 + 28 e^{-0.01663t} = 50 44+28e−0.01663t=50
e − 0.01663 t = 6 28 e^{-0.01663t} = \frac{6}{28} e−0.01663t=286
t = ln ( 6 28 ) − 0.01663 ≈ 92.6 t = \frac{\ln \left( \frac{6}{28} \right)}{-0.01663} \approx 92.6 t=−0.01663ln(286)≈92.6
汽水冷却到 50°F 需要大约 1 小时 33 分钟。
连续复利
例4 如果以 6% 的年利率投资 1000 1000 1000,并按年复利,则一年后这笔投资价值 1000 ( 1.06 ) = 1060 1000(1.06) = 1060 1000(1.06)=1060,两年后它的价值为 [ 1000 ( 1.06 ) ] 1.06 = 1123.60 [1000(1.06)]1.06 = 1123.60 [1000(1.06)]1.06=1123.60,而 t t t 年后它的价值为 1000 ( 1.06 ) t 1000(1.06)^t 1000(1.06)t。一般情况下,如果本金 A 0 A_0 A0 以利率 r r r(在此示例中 r = 0.06 r = 0.06 r=0.06)投资,则 t t t 年后其价值为 A 0 ( 1 + r ) t A_0(1 + r)^t A0(1+r)t。然而,通常情况下,利息更频繁地复利,比如每年复利 n n n 次。在每个复利期内,利率为 r / n r/n r/n,并且在 t t t 年内共有 n t nt nt 个复利期,因此投资的价值为:
A 0 ( 1 + r n ) n t A_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} A0(1+nr)nt
例如,三年后,以 6% 的利率投资 1000 1000 1000 将有以下结果:
1000 ( 1.06 ) 3 = 1191.02 年复利 1000(1.06)^3 = 1191.02 \quad \text{年复利} 1000(1.06)3=1191.02年复利
1000 ( 1.03 ) 6 = 1194.05 半年复利 1000(1.03)^6 = 1194.05 \quad \text{半年复利} 1000(1.03)6=1194.05半年复利
1000 ( 1.015 ) 12 = 1195.62 季度复利 1000(1.015)^{12} = 1195.62 \quad \text{季度复利} 1000(1.015)12=1195.62季度复利
1000 ( 1.005 ) 36 = 1196.68 月复利 1000(1.005)^{36} = 1196.68 \quad \text{月复利} 1000(1.005)36=1196.68月复利
1000 ( 1 + 0.06 365 ) 365 ⋅ 3 = 1197.20 日复利 1000 \left(1 + \frac{0.06}{365}\right)^{365 \cdot 3} = 1197.20 \quad \text{日复利} 1000(1+3650.06)365⋅3=1197.20日复利
当复利期数 n n n 增加时,支付的利息也增加。如果我们让 n → ∞ n \to \infty n→∞,那么利息将连续复利,投资的价值将为:
A ( t ) = lim n → ∞ A 0 ( 1 + r n ) n t = lim n → ∞ A 0 [ ( 1 + r n ) n / r ] r t = A 0 [ lim n → ∞ ( 1 + r n ) n / r ] r t = A 0 [ lim m → ∞ ( 1 + 1 m ) m ] r t ( where m = n r ) \begin{align*} A(t) &= \lim_{n \to \infty} A_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\\ &= \lim_{n \to \infty} A_0 \left[\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n/r}\right]^{rt}\\ &= A_0 \left[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n/r}\right]^{rt}\\ &= A_0 \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{rt} \quad (\text{where } m = \frac{n}{r}) \end{align*} A(t)=n→∞limA0(1+nr)nt=n→∞limA0[(1+nr)n/r]rt=A0[n→∞lim(1+nr)n/r]rt=A0[m→∞lim(1+m1)m]rt(where m=rn)
经过简化,结果为:
A ( t ) = A 0 e r t A(t) = A_0 e^{rt} A(t)=A0ert
如果我们对该方程求导,我们得到:
d A d t = r A 0 e r t = r A ( t ) \frac{dA}{dt} = rA_0 e^{rt} = rA(t) dtdA=rA0ert=rA(t)
这表示在连续复利的情况下,投资增长率与其规模成正比。
例如, 1000 1000 1000 投资三年,利率为 6% 时,使用连续复利计算的投资价值为:
A ( 3 ) = 1000 e 0.06 ⋅ 3 = 1197.22 A(3) = 1000 e^{0.06 \cdot 3} = 1197.22 A(3)=1000e0.06⋅3=1197.22
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提示 1.不是SQL注入 2.需要找关键源码 思路 进入页面发现是一个登录框,很难让人不联想到SQL注入,但提示都说了不是SQL注入,所以就不往这方面想了 先查看一下网页源码,发现一段JavaScript代码,有一个关键类ctfs…...

【HarmonyOS 5.0】DevEco Testing:鸿蒙应用质量保障的终极武器
——全方位测试解决方案与代码实战 一、工具定位与核心能力 DevEco Testing是HarmonyOS官方推出的一体化测试平台,覆盖应用全生命周期测试需求,主要提供五大核心能力: 测试类型检测目标关键指标功能体验基…...

YSYX学习记录(八)
C语言,练习0: 先创建一个文件夹,我用的是物理机: 安装build-essential 练习1: 我注释掉了 #include <stdio.h> 出现下面错误 在你的文本编辑器中打开ex1文件,随机修改或删除一部分,之后…...

抖音增长新引擎:品融电商,一站式全案代运营领跑者
抖音增长新引擎:品融电商,一站式全案代运营领跑者 在抖音这个日活超7亿的流量汪洋中,品牌如何破浪前行?自建团队成本高、效果难控;碎片化运营又难成合力——这正是许多企业面临的增长困局。品融电商以「抖音全案代运营…...
【Web 进阶篇】优雅的接口设计:统一响应、全局异常处理与参数校验
系列回顾: 在上一篇中,我们成功地为应用集成了数据库,并使用 Spring Data JPA 实现了基本的 CRUD API。我们的应用现在能“记忆”数据了!但是,如果你仔细审视那些 API,会发现它们还很“粗糙”:有…...

PL0语法,分析器实现!
简介 PL/0 是一种简单的编程语言,通常用于教学编译原理。它的语法结构清晰,功能包括常量定义、变量声明、过程(子程序)定义以及基本的控制结构(如条件语句和循环语句)。 PL/0 语法规范 PL/0 是一种教学用的小型编程语言,由 Niklaus Wirth 设计,用于展示编译原理的核…...

群晖NAS如何在虚拟机创建飞牛NAS
套件中心下载安装Virtual Machine Manager 创建虚拟机 配置虚拟机 飞牛官网下载 https://iso.liveupdate.fnnas.com/x86_64/trim/fnos-0.9.2-863.iso 群晖NAS如何在虚拟机创建飞牛NAS - 个人信息分享...

pikachu靶场通关笔记19 SQL注入02-字符型注入(GET)
目录 一、SQL注入 二、字符型SQL注入 三、字符型注入与数字型注入 四、源码分析 五、渗透实战 1、渗透准备 2、SQL注入探测 (1)输入单引号 (2)万能注入语句 3、获取回显列orderby 4、获取数据库名database 5、获取表名…...
绕过 Xcode?使用 Appuploader和主流工具实现 iOS 上架自动化
iOS 应用的发布流程一直是开发链路中最“苹果味”的环节:强依赖 Xcode、必须使用 macOS、各种证书和描述文件配置……对很多跨平台开发者来说,这一套流程并不友好。 特别是当你的项目主要在 Windows 或 Linux 下开发(例如 Flutter、React Na…...

JDK 17 序列化是怎么回事
如何序列化?其实很简单,就是根据每个类型,用工厂类调用。逐个完成。 没什么漂亮的代码,只有有效、稳定的代码。 代码中调用toJson toJson 代码 mapper.writeValueAsString ObjectMapper DefaultSerializerProvider 一堆实…...