简单线性回归分析-基于R语言
本题中,在不含截距的简单线性回归中,用零假设对
统计量进行假设检验。首先,我们使用下面方法生成预测变量x和响应变量y。
set.seed(1)
x <- rnorm(100)
y <- 2*x+rnorm(100)
(a)不含截距的线性回归模型
构建。
(1)建立y关于x的不含截距项的简单线性回归。估计系数及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。
这里我们使用下面代码实现没有截距的简单线性回归。
lm(y~x+0)
代码如下:
set.seed(1)
x = rnorm(100)
y = 2*x + rnorm(100)lm.fit = lm(y~x+0)
summary(lm.fit)
输出结果:
Call:
lm(formula = y ~ x + 0)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max
-1.9154 -0.6472 -0.1771 0.5056 2.3109 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
x 1.9939 0.1065 18.73 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.9586 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7798, Adjusted R-squared: 0.7776
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16
由输出结果得出:
简单线性回归方程:
其中:
其中:t 统计量的 p 值接近于零,因此拒绝原假设。
(b)参数估计。
(2)建立x关于y的不含截距项的简单线性回归。估计系数及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。
lm.fit = lm(x~y+0)
summary(lm.fit)
输出结果:
Call:
lm(formula = x ~ y + 0)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max
-0.8699 -0.2368 0.1030 0.2858 0.8938 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
y 0.39111 0.02089 18.73 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.4246 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7798, Adjusted R-squared: 0.7776
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16
由输出结果得出:
简单线性回归方程:
其中:
其中: t 统计量的 p 值接近于零,因此拒绝原假设。
(c)模型结果分析。
(3)(1)和(2)所得到的结果有什么关系?
(1)和(2)的结果反映了同一个线性关系模型,
和
在一定程度上是等价的线性关系模型,他们的 t 值都等于 18.73。
(d)t 统计量检验证明。
(4)对于y对x的不含截距的简单线性回归,零假设: 的 t 统计量具有
的形式,其中
由下式给出,其中:
用代数的方法证明上面式子可以写成如下形式,并在R中进行确认。
证明:
R语言验证:
sqrt(length(x)-1) * sum(x*y)) / (sqrt(sum(x*x) * sum(y*y) - (sum(x*y))^2)
[1] 18.72593
由输出结果得出:这与上面显示的 t 统计量相同。
(e)简单线性回归中y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。
(f1)无截距情况证明:
(5)用(4)的结果证明y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。
如果你把 t(x,y) 换成 t(y,x),那么你会发现 t(x,y) = t(y,x)。
(f2)有截距情况
证明:
(6)在R中证明在截距的回归中,零假设: 的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。
代码如下:
lm.fit = lm(y~x)
lm.fit2 = lm(x~y)
summary(lm.fit)
输出:
Call:
lm(formula = y ~ x)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max
-1.8768 -0.6138 -0.1395 0.5394 2.3462 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.03769 0.09699 -0.389 0.698
x 1.99894 0.10773 18.556 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.9628 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7784, Adjusted R-squared: 0.7762
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
summary(lm.fit2)
输出:
Call:
lm(formula = x ~ y)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max
-0.90848 -0.28101 0.06274 0.24570 0.85736 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.03880 0.04266 0.91 0.365
y 0.38942 0.02099 18.56 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.4249 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7784, Adjusted R-squared: 0.7762
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
由表格结果,零假设: 的 t 统计量在y对x的回归中为18.556,在x对y的回归中为18.56,说明在截距的回归中,零假设:
的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。
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