图像处理中常用的统计矩

原点矩（Moment about the Origin）和中心矩（Central Moment）是概率论和数理统计中描述随机变量分布特征的统计量。

原点矩

原点矩基于随机变量与其原点（通常是0）之间的距离进行定义，用于描述数据的集中趋势、离散程度等特性。

对于一个随机变量$X$，其$r$阶原点矩定义为：

$${\mu }_r=E(X^r)$$

其中：

• $E$表示期望值。
• $r$是一个正整数，表示矩的阶数。

连续型随机变量：如果$X$是连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x)$，则$r$阶原点矩可以表示为：

$${\mu }_r={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{r}f(x)dx$$

离散型随机变量：如果$X$是离散型随机变量，其概率分布列为$p(x_i)$，则$r$阶原点矩可以表示为：

$${\mu }_r=\sum _i{x}_i^{r}p(x_i)$$

中心矩

与原点矩不同，中心矩是基于随机变量与其期望值（均值）之间的偏差进行定义的，主要用于描述数据的离散程度、对称性和峰态等特性。

对于一个随机变量$X$，其$r$阶中心矩定义为：

$$m_r=E[(X-\mu {)}^r]$$

其中：

• $E$表示期望值。
• $\mu =E(X)$是随机变量$X$的期望值。
• $r$是一个正整数，表示矩的阶数。

连续型随机变量：如果$X$是连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x)$，则$r$阶中心矩可以表示为：

$$m_r={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{r}f(x)dx$$

离散型随机变量：如果$X$是离散型随机变量，其概率质量函数为$p(x_i)$，则$r$阶中心矩可以表示为：

$$m_r=\sum _i(x_i-\mu {)}^{r}p(x_i)$$

常用的统计矩

1. 一阶原点矩（均值）：

   • 定义：${\mu }_1=E(X)$
   • 描述：一阶原点矩即为随机变量的期望值，表示数据的中心位置或平均值。

2. 二阶中心矩（方差）：

   • 定义：$m_2=E[(X-\mu {)}^2]$
   • 描述：二阶中心矩即为方差${\sigma }^2$，表示数据的离散程度或波动大小。方差的平方根称为标准差$\sigma$。

3. 三阶中心矩：

   • 定义：$m_3=E[(X-\mu {)}^3]$
   • 描述：三阶中心矩经过标准化（除以标准差的三次方）后称为偏度${\gamma }_1$，用于描述分布的不对称性。正偏度表示分布有较长的右尾，负偏度表示有较长的左尾。

4. 四阶中心矩：

   • 定义：$m_4=E[(X-\mu {)}^4]$
   • 描述：四阶中心矩经过标准化（除以标准差的四次方）后称为峰度${\gamma }_2$，用于描述分布的峰态或“尖峭”程度。标准正态分布的峰度为3，因此有时会报告超额峰度（即峰度减去3），以突出与正态分布相比的差异。

偏度（Skewness）

偏度（Skewness）是描述概率分布对称性的统计量，用于衡量数据分布的不对称程度。具体来说，偏度可以告诉我们数据分布的尾部是否偏向某一侧。正偏度表示分布有较长的右尾，而负偏度表示有较长的左尾。标准正态分布的偏度为0，表示其是对称的。

定义

偏度通常通过三阶中心矩标准化后得到。对于一个随机变量$X$，其偏度${\gamma }_1$定义为：

$${\gamma }_1=\frac{m_3}{{\sigma }^3}$$

其中：

• $m_3=E[(X-\mu {)}^3]$是三阶中心矩。
• $\mu =E(X)$是随机变量$X$的期望值。
• $\sigma =\sqrt{m_2}=\sqrt{E[(X-\mu {)}^2]}$是标准差，其中$m_2$是二阶中心矩（方差）。

标准差$\sigma$的量纲与$X$相同，因此${\sigma }^3$的量纲也是$X$的量纲的三次方。通过除以标准差的三次方，偏度成为了一个无量纲的统计量，不受量纲的影响，使得不同数据集的偏度可以直接进行比较。

解释

1. 正偏度（Positive Skewness）：

   • 当${\gamma }_1>0$时，表示分布有较长的右尾。这表明大多数数据集中在左侧，而右侧有少量极端值。

2. 负偏度（Negative Skewness）：

   • 当${\gamma }_1<0$时，表示分布有较长的左尾。这表明大多数数据集中在右侧，而左侧有少量极端值。

3. 对称分布：

   • 当${\gamma }_1=0$时，表示分布是对称的，如标准正态分布。

峰度（Kurtosis）

峰度（Kurtosis）是描述概率分布形状的一个统计量，特别关注分布的“峰态”或“尖峭”程度。峰度衡量的是数据分布的尾部重厚程度以及峰顶的尖锐程度，与正态分布相比较而言。

定义

对于一个随机变量$X$，其峰度定义为四阶中心矩除以方差的平方，再减去3：

$$\text{Kurtosis}(X)=\frac{E[(X-\mu {)}^4]}{({\sigma }^2{)}^2}-3=\frac{m_4}{{\sigma }^4}-3$$

其中：

• $E[(X-\mu {)}^4]$ 表示$X$ 的四阶中心矩。
• $\mu =E(X)$ 是$X$ 的期望值。
• ${\sigma }^2=Var(X)=E[(X-\mu {)}^2]$ 是$X$ 的方差。

解释

1. 标准正态分布：标准正态分布的峰度为0（或说其超额峰度为0）。这是因为它的四阶中心矩正好是方差平方的3倍，因此在上述公式中减去3之后结果为0。

2. 正峰度（Leptokurtic）：如果一个分布的峰度大于0（即超额峰度大于0），则说明该分布比正态分布更“尖”，且具有更重的尾部。这表明分布中有更多的极端值。

3. 负峰度（Platykurtic）：如果一个分布的峰度小于0（即超额峰度小于0），则说明该分布比正态分布更“平”，且具有较轻的尾部。这表明分布中的极端值较少，大多数观测值集中在均值附近。

统计矩的应用

• 描述数据分布：通过计算不同阶数的中心矩，可以全面地描述数据的分布特性，如离散程度、对称性和峰态。
• 参数估计：在参数估计中，中心矩常用于估计总体参数，特别是在矩估计法中。
• 数据分析：中心矩可以用于各种数据分析任务，如计算方差、偏度和峰度等。

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