【高等数学】无穷级数
0. 了解
无穷级数是指将无穷多个数按照一定的规律相加起来的表达式。
打个比方,就像你有一个无穷长的梯子,每一级梯子代表一个数。把这些数一个一个加起来,就形成了无穷级数。
比如常见的等比级数,这里
是首项,
是公比。如果
,这个等比级数是收敛的,也就是它的和是一个有限的数。
无穷级数的研究主要是看它是否收敛,也就是这个无穷多个数加起来会不会趋向于一个确定的值。如果收敛,就可以求出这个和;如果不收敛,就说它是发散的。
比如级数就是发散的,而级数
是收敛的,它的和为
。
无穷级数在许多数学和工程领域中有广泛的应用,包括:泰勒级数,用于近似函数值;傅里叶级数: 用于信号处理和图像分析;概率论: 在计算期望值和方差时经常出现。
幂级数的是可以变化的,
在收敛域内那么这个级数就是收敛的;
在收敛域外那么这个级数就是发散的。当
在收敛域内时,该幂级数可以求和函数(级数和随
变化而变化的情况)。
常数项级数就是为某一个值的情况,敛散性是确定的。当他收敛时,和为一个确定值而非函数。
1. 常数项级数
定义
常数项级数就是无穷多个项求和,其中每一项都是常数。
公式
1.1. 敛散性
1.1.1. 概念
敛散性
| 收敛 | 发散 |
![]() | ![]() |
通过定义判断级数是否收敛
1. 极限存在,级数收敛
2.极限不存在,级数发散
1.1.2. 正项级数

等比级数
例题1 判断级数的敛散性。
01/步骤:找到一般项
02/步骤:计算
等比数列求和公式
03/步骤:计算
级数收敛
例题2 判断级数的敛散性。
01/步骤:找到一般项
02/步骤:计算
等比数列求和公式
03/步骤:计算
级数发散

p级数
例题3 判断级数的敛散性。
级数
收敛
因此级数收敛
例题4 判断级数的敛散性。
且时
等比级数收敛,因此
收敛
含有a_n,n!
例题5 判断级数的敛散性。
01/步骤:写出和
02/步骤:求比值
03/步骤:算极限
04/步骤:判断敛散性
因此原级数收敛。
例题6 判断级数的敛散性。
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