当前位置： 首页 > news >正文

【高等数学】无穷级数

news 2026/2/10 7:36:28

0. 了解

无穷级数是指将无穷多个数按照一定的规律相加起来的表达式。
打个比方，就像你有一个无穷长的梯子，每一级梯子代表一个数。把这些数一个一个加起来，就形成了无穷级数。
比如常见的等比级数$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n$，这里a是首项，r是公比。如果$|r|<1$,这个等比级数是收敛的，也就是它的和是一个有限的数。
无穷级数的研究主要是看它是否收敛，也就是这个无穷多个数加起来会不会趋向于一个确定的值。如果收敛，就可以求出这个和；如果不收敛，就说它是发散的。
比如级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$就是发散的，而级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}$是收敛的，它的和为$\frac1{1-\frac12}=2$。

无穷级数在许多数学和工程领域中有广泛的应用，包括：泰勒级数，用于近似函数值；傅里叶级数： 用于信号处理和图像分析；概率论： 在计算期望值和方差时经常出现。

幂级数的x是可以变化的，x在收敛域内那么这个级数就是收敛的；x在收敛域外那么这个级数就是发散的。当x在收敛域内时，该幂级数可以求和函数（级数和随x变化而变化的情况）。

常数项级数就是x为某一个值的情况，敛散性是确定的。当他收敛时，和为一个确定值而非函数。

1. 常数项级数

定义

常数项级数就是无穷多个项求和，其中每一项都是常数。

公式

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

1.1. 敛散性

1.1.1. 概念

敛散性

收敛发散
$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+\ldots+(\frac{1}{2})^{n}+\ldots$$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}=2+2^{2}+\ldots+2^{n}+\ldots $

通过定义判断级数是否收敛

1. $\lim_{n\to\infty} S_n$极限存在，级数收敛

2.$\lim_{n\to\infty} S_n$极限不存在，级数发散 

1.1.2. 正项级数

 等比级数

例题1 判断级数$\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n+\ldots$的敛散性。

01/步骤：找到一般项u_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}

02/步骤：计算$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n$

等比数列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}\\=1-(\frac12)^n$

03/步骤：计算$\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[1-(\frac{1}{2})^{n}]\\$

$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}(1-0)=1\\$

级数$\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n$收敛

例题2 判断级数$\sum_{n=1}^\infty2^n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n+\ldots$的敛散性。

01/步骤：找到一般项u_{n}=\left ( 2 \right )^{n}

02/步骤：计算$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n$

等比数列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{2[1-(2)^{n}]}{1-2}\\=2^{n+1}-2$

03/步骤：计算$\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[2^{n+1}-2]=\infty\\$

级数$\sum_{n=1}^\infty(2)^n$发散

p级数 

例题3 判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac1{n^2})$的敛散性。

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})$

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})\sim\frac1{n^2}$

p-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$收敛

因此级数$\sum_{n=1}^\infty ln(1+\frac1{n^2})$收敛

例题4 判断级数$\sum_{n=1}^\infty2^nsin\frac1{3^n}$的敛散性。

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$     $u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$

且n\to\infty时$\frac{1}{3^{n}}\to0, sin\frac{1}{3^{n}}\sim\frac{1}{3^{n}},u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}\sim2^{n}\frac{1}{3^{n}}=(\frac{2}{3})^{n}$

等比级数$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n} $收敛，因此$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$收敛

含有a_n,n!

例题5 判断级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}$的敛散性。

01/步骤：写出u_n和u_{n+1}

$u_n=\frac{2^nn!}{n^n}\quad u_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$

02/步骤：求比值$\frac{u_{n+1}}{u_n}$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2^n\cdot2(n+1)n!}{(n+1)^n(n+1)}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2n^n}{(n+1)^n}$

03/步骤：算极限$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho $

$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{n}}{(n+1)^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\frac{2}{e}<1$

04/步骤：判断敛散性

因此原级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}$收敛。

例题6 判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$的敛散性。

$u_n=\frac{n!}{10^n}\quad u_{n+1}=\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}$

相关文章：

【高等数学】无穷级数

0. 了解 无穷级数是指将无穷多个数按照一定的规律相加起来的表达式。 打个比方，就像你有一个无穷长的梯子，每一级梯子代表一个数。把这些数一个一个加起来，就形成了无穷级数。 比如常见的等比级数，这里是首项，是公比。如果,这个等比级数是收敛的，也就是它的和是一个有限…...

编程日记 2024/10/21 4:50:06

计算机网络——无连接传输UDP

UDP用于流媒体应用和事务性应用&#xff08;一次往返搞定的应用&#xff09;...

编程日记 2024/10/21 4:49:05

DS几大常见排序讲解和实现(下)(15)

文章目录 前言一、快排的思想二、Hoare版基本思路代码实现 三、挖坑法基本思路代码实现 四、双指针法基本思想代码实现 五、三数取中六、小区间优化七、三路划分八、自省排序总结 前言 其实下篇就单独讲个快速排序   你可能会想这是什么神通&#xff0c;竟然能单独开一篇来讲…...

编程日记 2024/10/21 4:48:04

电脑视频剪辑大比拼，谁更胜一筹？

随着短视频的火爆&#xff0c;越来越多的人开始尝试自己动手制作视频&#xff0c;无论是记录生活点滴还是创作个性短片&#xff0c;一款好用的视频剪辑软件是必不可少的。今天&#xff0c;我们就从短视频运营的角度&#xff0c;来聊聊几款热门的电脑视频剪辑软件&#xff0c;看…...

编程日记 2024/10/21 4:43:00

计算机毕业设计 基于Web的景区管理系统的设计与实现 Java+SpringBoot+Vue 前后端分离 文档报告 代码讲解 安装调试

&#x1f34a;作者&#xff1a;计算机编程-吉哥 &#x1f34a;简介&#xff1a;专业从事JavaWeb程序开发&#xff0c;微信小程序开发&#xff0c;定制化项目、 源码、代码讲解、文档撰写、ppt制作。做自己喜欢的事&#xff0c;生活就是快乐的。 &#x1f34a;心愿&#xff1a;点…...

编程日记 2024/10/21 4:36:53

计算生物学与生物信息学漫谈-2-测序深度/读长质量和Fasta处理

上一篇文章中我们介绍了测序技术的由来与发展&#xff0c;那么在介绍第三代测序的时候&#xff0c;我们提到了关于测序深度和读长的问题&#xff0c;那么本篇文章就详解介绍一下。 计算生物学与生物信息学漫谈-1-测序一路走来-CSDN博客 目录 1.测序深度SEQUENCING DEPTH &…...

编程日记 2024/10/21 4:35:51

基于SSM+微信小程序的电子点餐管理系统（点餐1）

&#x1f449;文末查看项目功能视频演示获取源码sql脚本视频导入教程视频 1、项目介绍 基于SSM微信小程序的电子点餐管理系统实现了管理员及用户。管理员实现了首页、个人中心、餐品分类管理、特色餐品管理、订单信息管理、用户管理、特价餐品管理、活动订单管理、系统管理。…...

编程日记 2024/10/21 4:34:50

IO进程---day5

1、使用有名管道实现两个进程之间的相互通信 //管道文件 #include<myhead.h> int main(int argc, const char *argv[]) {//创建有名管道文件1if(mkfifo("./pipe1",0664)-1){perror("创建管道文件失败");return 0;}if(mkfifo("./pipe2",066…...

编程日记 2024/10/21 4:33:49

ROS理论与实践学习笔记——5 ROS机器人系统仿真之URDF(Unified Robot Description Format)语法详解

URDF 文件是一个标准的 XML 文件格式&#xff0c;用于在 ROS 中描述机器人模型的结构。URDF 通过预定义的一系列标签&#xff0c;简洁地表达机器人的组成和运动关系。虽然机器人模型可能非常复杂&#xff0c;但在 URDF 中可以主要简化为两个核心部分&#xff1a; 连杆&#xff…...

编程日记 2024/10/21 4:29:44

常见SQL注入攻击示例与原理及其防御措施

SQL 注入&#xff08;SQL Injection&#xff09;是一种代码注入技术&#xff0c;用于攻击数据驱动的应用程序&#xff0c;主要通过在输入字段或 URL 查询参数中插入恶意 SQL 语句来实现。攻击者利用应用程序对用户输入数据的未充分验证或过滤&#xff0c;将恶意 SQL 语句注入到…...

编程日记 2024/10/21 4:26:41

Node.js 中的 WebSocket 底层实现

WebSockets 是一种网络通信协议&#xff0c;可实现双向客户端-服务器通信。 WebSockets 通常用于需要即时更新的应用程序&#xff0c;使用 HTTP 之上的持久双工通道来支持实时交互&#xff0c;而无需持续进行连接协商。服务器推送是 WebSockets 的众多常见用例之一。 本文首先…...

编程日记 2024/10/21 4:24:33

MySQl数据库的基本操作

1.1创建数据库 使用CREATE DATABASE语句可以轻松创建MySQL数据库&#xff0c;语法如下&#xff1a; CREATE DATABASE 数据库名; 例&#xff1a;创建fruitsales数据库 CREATE DATABASE fruitsales;1.2 查看数据库 使用SHOW语句查看当前服务器下所有已经存在的数据库 SHOW DAT…...

编程日记 2024/10/21 4:23:32

Egg.js 项目的合理 ESLint 配置文件模板

Egg.js 项目的合理 ESLint 配置文件模板 安装依赖 npm install eslint babel/eslint-parser eslint-plugin-import eslint-plugin-promise eslint-plugin-node --save-dev extends: 扩展了 eslint-config-egg 以及其他一些常用的插件配置。 parser: 使用 babel/eslint-parse…...

编程日记 2024/10/21 4:21:30

算法专题七: 分治归并

目录 1. 排序数组2. 交易逆序对的总数3. 计算右侧小于当前元素的个数4. 翻转对 1. 排序数组 算法思路: 本道题使用归并的思路进行排序, 先讲数组分为左右两个区间, 然后合并两个有序数组. class Solution {vector<int> tmp; public:vector<int> sortArray(vector&…...

编程日记 2024/10/21 4:19:27

一个基于vue功能强大的表格组件--vxe-table的二次封装

基础使用 一个基于 vue 的 PC 端表格组件&#xff0c;支持增删改查、虚拟滚动、懒加载、快捷菜单、数据校验、树形结构、打印导出、表单渲染、数据分页、虚拟列表、模态窗口、自定义模板、渲染器、贼灵活的配置项、扩展接口等… <vxe-grid v-bind"gridOptions1"…...

编程日记 2024/10/21 4:18:26

CSS网页布局（重塑网页布局）

一、实现两列布局 许多网站有一些特点&#xff0c;如页面顶部放置一个大的导航或广告条&#xff0c;右侧是链接或图片&#xff0c;左侧放置主要内容&#xff0c;页面底部放置版权信息等。 一般情况&#xff0c;此类网页布局的两列都有固定的宽度&#xff0c;而且从内容上很容易…...

编程日记 2024/10/21 4:17:25

计算机网络：数据链路层 —— 以太网（Ethernet）

文章目录 局域网局域网的主要特征 以太网以太网的发展100BASE-T 以太网物理层标准 吉比特以太网载波延伸物理层标准 10吉比特以太网汇聚层交换机物理层标准 40/100吉比特以太网传输媒体 局域网 局域网&#xff08;Local Area Network, LAN&#xff09;是一种计算机网络&#x…...

编程日记 2024/10/21 4:14:22

考研前所学c语言02（2024/10/16）

1.一个十进制的数转化为二进制的就是不断除二取余&#xff0c;得到的余数从下到上取 比如123&#xff1a; 结果为&#xff1a; 同理其他的十进制转八进制&#xff0c;十六进制就除八&#xff0c;除十六即可 再比如123转十六进制&#xff1a; 因为余数是11&#xff0c;十六进…...

编程日记 2024/10/21 4:13:21

R语言绘图——坐标轴及图例

掌握坐标轴与图例的设置与调整&#xff0c;对于提升数据可视化的清晰度和可读性至关重要。通过这些工具&#xff0c;可以有效地传达数据背后的故事&#xff0c;提高图表的表现力。 0x01 坐标轴 一、坐标轴的设置 1、修改坐标轴的标签 在ggplot2中&#xff0c;坐标轴是根据数…...

编程日记 2024/10/21 4:12:20

JDK中socket源码解析

目录 1、Java.net包 1. Socket通信相关类 2. URL和URI处理类 3. 网络地址和主机名解析类 4. 代理和认证相关类 5. 网络缓存和Cookie管理类 6. 其他网络相关工具类 2、什么是socket&#xff1f; 3、JDK中socket核心Api 4、核心源码 1、核心方法 2、本地方法 3、lin…...

编程日记 2024/10/21 4:08:15

[2025CVPR]DeepVideo-R1：基于难度感知回归GRPO的视频强化微调框架详解

突破视频大语言模型推理瓶颈，在多个视频基准上实现SOTA性能 一、核心问题与创新亮点 1.1 GRPO在视频任务中的两大挑战 ​安全措施依赖问题​ GRPO使用min和clip函数限制策略更新幅度，导致： 梯度抑制：当新旧策略差异过大时梯度消失收敛困难：策略无法充分优化# 传统GRPO的梯…...

编程新知 2025/8/19 23:46:57

Java如何权衡是使用无序的数组还是有序的数组

在 Java 中，选择有序数组还是无序数组取决于具体场景的性能需求与操作特点。以下是关键权衡因素及决策指南： ⚖️ 核心权衡维度 维度有序数组无序数组查询性能二分查找 O(log n) ✅线性扫描 O(n) ❌插入/删除需移位维护顺序 O(n) ❌直接操作尾部 O(1) ✅内存开销与无序数组相…...

编程新知 2025/8/3 11:17:37

cf2117E

原题链接&#xff1a;https://codeforces.com/contest/2117/problem/E 题目背景&#xff1a; 给定两个数组a,b&#xff0c;可以执行多次以下操作&#xff1a;选择 i (1 < i < n - 1)&#xff0c;并设置 或&#xff0c;也可以在执行上述操作前执行一次删除任意 和 。求…...

编程新知 2026/2/4 15:29:40

【AI学习】三、AI算法中的向量

在人工智能&#xff08;AI&#xff09;算法中&#xff0c;向量&#xff08;Vector&#xff09;是一种将现实世界中的数据&#xff08;如图像、文本、音频等&#xff09;转化为计算机可处理的数值型特征表示的工具。它是连接人类认知&#xff08;如语义、视觉特征&#xff09;与…...

编程新知 2026/1/1 14:01:45

WEB3全栈开发——面试专业技能点P2智能合约开发（Solidity）

一、Solidity合约开发 下面是 Solidity 合约开发 的概念、代码示例及讲解&#xff0c;适合用作学习或写简历项目背景说明。 &#x1f9e0; 一、概念简介&#xff1a;Solidity 合约开发 Solidity 是一种专门为 以太坊&#xff08;Ethereum&#xff09;平台编写智能合约的高级编…...

编程新知 2026/1/27 9:33:09

JavaScript基础-API 和 Web API

在学习JavaScript的过程中&#xff0c;理解API&#xff08;应用程序接口&#xff09;和Web API的概念及其应用是非常重要的。这些工具极大地扩展了JavaScript的功能&#xff0c;使得开发者能够创建出功能丰富、交互性强的Web应用程序。本文将深入探讨JavaScript中的API与Web AP…...

编程新知 2025/8/21 23:03:46

云原生安全实战：API网关Kong的鉴权与限流详解

&#x1f525;「炎码工坊」技术弹药已装填&#xff01; 点击关注 → 解锁工业级干货【工具实测|项目避坑|源码燃烧指南】 一、基础概念 1. API网关&#xff08;API Gateway&#xff09; API网关是微服务架构中的核心组件&#xff0c;负责统一管理所有API的流量入口。它像一座…...

编程新知 2026/2/1 6:24:16

Git常用命令完全指南：从入门到精通

Git常用命令完全指南&#xff1a;从入门到精通 一、基础配置命令 1. 用户信息配置 # 设置全局用户名 git config --global user.name "你的名字"# 设置全局邮箱 git config --global user.email "你的邮箱example.com"# 查看所有配置 git config --list…...

编程新知 2025/10/3 0:40:01

第7篇：中间件全链路监控与 SQL 性能分析实践

7.1 章节导读 在构建数据库中间件的过程中&#xff0c;可观测性 和 性能分析 是保障系统稳定性与可维护性的核心能力。 特别是在复杂分布式场景中&#xff0c;必须做到&#xff1a; &#x1f50d; 追踪每一条 SQL 的生命周期&#xff08;从入口到数据库执行&#xff09;&#…...

编程新知 2025/12/11 0:27:15

前端中slice和splic的区别

1. slice slice 用于从数组中提取一部分元素&#xff0c;返回一个新的数组。 特点&#xff1a; 不修改原数组&#xff1a;slice 不会改变原数组&#xff0c;而是返回一个新的数组。提取数组的部分&#xff1a;slice 会根据指定的开始索引和结束索引提取数组的一部分。不包含…...

编程新知 2025/11/27 20:15:13