人工智能--数学基础

目录

​编辑2.1 线性代数基础

2.2 微积分及优化理论

2.3 概率论与统计学

2.4 信息论简介

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2.1 线性代数基础

线性代数是处理向量空间（包括有限维或无限维）以及这些空间上的线性映射的一门数学分支。在线性代数中，最核心的概念包括向量、矩阵、张量及其运算。

• 向量：向量可以看作是一个有序的数字列表，通常用来表示一个点的位置或者方向。向量之间可以进行加法、减法和标量乘法等基本运算。
• 矩阵：矩阵是由m行n列的数字组成的矩形数组。它不仅可以用于表示数据集，也是线性变换的重要工具。矩阵的运算包括加法、乘法（包括矩阵-矩阵乘法和矩阵-向量乘法）、转置等。
• 张量：张量可以视为多维数组，它是向量和矩阵概念的推广。在深度学习中，张量被广泛使用来存储和操作数据，尤其是在处理图像和视频时。
• 特征值与特征向量：对于方阵A，如果存在非零向量v和标量λ使得Av=λv，则称λ为A的一个特征值，而v称为对应的特征向量。特征值和特征向量在许多机器学习算法中都扮演着重要角色，如主成分分析(PCA)。
• 奇异值分解(SVD)：SVD是一种重要的矩阵分解技术，它可以将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积。这种分解在降维、推荐系统等领域有着广泛应用。

2.2 微积分及优化理论

微积分主要研究函数的变化率（导数）和累积量（积分）。在深度学习中，我们经常需要通过调整参数来最小化某个损失函数，这涉及到梯度下降等优化方法的应用。

• 导数与偏导数：导数描述了函数在某一点处的变化率；偏导数则是多元函数相对于其中一个变量的变化率。它们是求解局部极小值或极大值的基础。
• 梯度：梯度是一个向量，包含了所有偏导数的信息。在多变量情况下，梯度指向函数增长最快的方向。
• 链式法则：链式法则是复合函数求导的基本规则，在反向传播算法中起着至关重要的作用。
• 泰勒展开：泰勒级数提供了一种近似复杂函数的方法，它基于函数在某一点处的各阶导数值。
• 凸优化：当目标函数是凸函数时，任何局部最优解都是全局最优解。了解凸优化有助于我们选择合适的优化策略。
• 梯度下降法：这是寻找函数最小值的一种迭代方法。根据更新方式的不同，又可分为批量梯度下降、随机梯度下降以及小批量梯度下降。

2.3 概率论与统计学

概率论提供了对不确定性和随机现象建模的数学框架，而统计学则关注于从数据中提取有用信息的过程。这两者对于评估模型性能、处理噪声数据等方面至关重要。

• 随机变量：随机变量是用来量化不确定性的一个概念。它可以是离散的（如掷骰子的结果）或是连续的（如人的身高）。
• 概率分布：概率分布描述了随机变量取不同值的概率。常见的离散分布有伯努利分布、二项分布；常见的连续分布有多项式分布、正态分布等。
• 条件概率：给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率称为条件概率。贝叶斯定理就是基于条件概率的一个重要公式。
• 期望值与方差：期望值反映了随机变量的平均行为；方差则衡量了随机变量与其均值之间的偏离程度。
• 最大似然估计：这是一种常用的参数估计方法，其目的是找到使观测数据出现概率最大的模型参数。
• 假设检验：通过设定原假设和备择假设，利用样本数据来判断是否拒绝原假设的过程。

2.4 信息论简介

信息论是由克劳德·香农提出的，旨在解决通信过程中信息传输效率的问题。它也为我们提供了度量信息内容的方法，并在机器学习中有着广泛应用，特别是在自然语言处理领域。

• 熵：熵是对信息不确定性的度量。在一个概率分布中，熵越高意味着该分布越均匀，信息的不确定性也就越大。
• 交叉熵：交叉熵用来衡量两个概率分布之间的差异。在分类问题中，常常用交叉熵作为损失函数。
• KL散度（Kullback-Leibler Divergence）：KL散度也是一种衡量两个分布间差异的方法，但它不是对称的。KL散度在变分推断等高级技术中有重要作用。
• 互信息：互信息用来衡量两个随机变量之间共享的信息量。高互信息表明两个变量之间有较强的关联性。