【小问题】距离估计和频率估计的方差下界推导出距离估计的方差下界

【1】OFDM Radar Algorithms in Mobile Communication Networks pp34

如何根据$\hat{d}=\frac{\hat{n}{c}_0}{2\Delta f{N}_{\mathrm{Per}}}$和$\mathrm{var}[\hat{\omega }]\ge \frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}$推出$\mathrm{var}[\hat{d}]\ge \frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}{\left(\frac{c_0}{4\pi \Delta f}\right)}^2$

要从给定的距离估计公式和频率估计的方差下界推导出距离估计的方差下界，我们可以按照以下步骤进行：

1. 频率和距离之间的关系

已知距离估计的公式为：
$\hat{d}=\frac{\hat{n}{c}_0}{2\Delta f{N}_{\mathrm{Per}}}$
其中：

• $\hat{n}$ 是从周期图中检测到的频率索引。
• $c_0$ 是信号传播速度。
• $\Delta f$ 是频率分辨率。
• $N_{\mathrm{Per}}$ 是周期图的样本数量。

2. 计算 $\hat{d}$ 对 $\hat{n}$ 的导数

我们可以计算 $\hat{d}$ 对 $\hat{n}$ 的偏导数，以便将其用于方差的转换：
$\frac{\partial \hat{d}}{\partial \hat{n}}=\frac{c_0}{2\Delta f{N}_{\mathrm{Per}}}$

3. 将频率的方差转化为距离的方差

根据 CRB 的转换关系：
$\mathrm{var}[\hat{d}]={\left|\frac{\partial \hat{d}}{\partial \hat{n}}\right|}^2\mathrm{var}[\hat{n}]$

将上面计算的导数代入：
$\mathrm{var}[\hat{d}]={\left(\frac{c_0}{2\Delta f{N}_{\mathrm{Per}}}\right)}^2\mathrm{var}[\hat{n}]$

4. 从频率的 CRB 获得 $\mathrm{var}[\hat{n}]$

根据频率估计的 Cramér-Rao Bound，我们有：
$\mathrm{var}[\hat{\omega }]\ge \frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}$

注意到频率 $\hat{\omega }$ 与索引 $\hat{n}$ 的关系为：
$\hat{\omega }=\frac{2\pi \hat{n}}{N_{\mathrm{Per}}}$

因此：
$\hat{n}=\frac{N_{\mathrm{Per}}\hat{\omega }}{2\pi }$

推导方差的关系：
$\mathrm{var}[\hat{n}]={\left(\frac{N_{\mathrm{Per}}}{2\pi }\right)}^2\mathrm{var}[\hat{\omega }]$

5. 将 $\mathrm{var}[\hat{n}]$ 代入距离方差公式

将 $\mathrm{var}[\hat{\omega }]$ 的 CRB 代入：
$\mathrm{var}[\hat{n}]\ge {\left(\frac{N_{\mathrm{Per}}}{2\pi }\right)}^2\frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}$

将其代入到距离方差公式中：
$\mathrm{var}[\hat{d}]\ge {\left(\frac{c_0}{2\Delta f{N}_{\mathrm{Per}}}\right)}^2{\left(\frac{N_{\mathrm{Per}}}{2\pi }\right)}^2\frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}$

6. 简化公式

最终的方差表达式变为：
$\mathrm{var}[\hat{d}]\ge \frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}{\left(\frac{c_0}{4\pi \Delta f}\right)}^2$

这就是你提到的结果：
$\mathrm{var}[\hat{d}]\ge \frac{6{\sigma }_N^2}{(N^2-1)N}{\left(\frac{c_0}{4\pi \Delta f}\right)}^2$

总结来说，主要步骤是通过计算导数关系，将频率的方差转化为距离的方差，并结合频率的 CRB 得到最终结果。