双曲函数(Hyperbolic functuons)公式

  在python等语言里有双曲函数库和反双曲函数库，但是并没有包含所有的双曲函数。以numpy为例子，numpy只提供了sinh、cosh、tanh、arcsinh、arccosh、arctanh六种函数，那么其余的就需要用公式计算了。

转换公式

  对于函数库不能直接计算的，我整理出了计算公式：
$$\begin{gathered} \coth x=\frac{1}{\tanh x} \\ sechx=\frac{1}{\cosh x} \\ cschx=\frac{1}{\sinh x} \\ arccothx=arctan(\frac{1}{x}) \\ arcsechx=arccos(\frac{1}{x}) \\ arccschx=arcsec(\frac{1}{x}) \end{gathered}$$

导数公式

  对双曲函数和反双曲函数求导的公式也非常重要，必须要背诵下来。
$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x \\ \frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x \\ \frac{d}{dx}(\tanh x)=sec{h}^{2}x \\ \frac{d}{dx}(\coth x)=-csc{h}^{2}x \\ \frac{d}{dx}(sechx)=-sechxtanhx \\ \frac{d}{dx}(cschx)=-cschxcothx \end{gathered}$$
  接下来是反双曲函数inverse hyperbolic functions的导数公式:
$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(arcsinhx)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{d}{dx}(arccoshx)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x>1 \\ \frac{d}{dx}(arctanhx)=\frac{1}{1-x^2} \\ \frac{d}{dx}(arccothx)=\frac{1}{1-x^2} \\ \frac{d}{dx}(arcsechx)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \\ \frac{d}{dx}(arccoshx)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} \end{gathered}$$

积分公式

  上面这些求导公式，反推一下就是积分公式了，但是有些特殊的积分公式，不能直接推导出来，需要记忆：
$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=arcsinh(\frac{x}{a})+C,a>0 \\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=arccosh(\frac{x}{a})+C,x>a>0 \\ \int \frac{dx}{a^2-x^2}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}arctanh(\frac{x}{a})+C,x^2<a^2\\ \frac{1}{a}arccoth(\frac{x}{a})+C,x^2>a^2\end{array} \\ \int \frac{dx}{x\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{1}{a}arcsech(\frac{x}{a})+C,0<x<a \\ \int \frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=-\frac{1}{a}arccsch|\frac{x}{a}|+C,x\ne 0,a>0 \end{gathered}$$

恒等式

  最后，我再整理一点恒等式：
$$\begin{gathered} cos{h}^{2}x-sin{h}^{2}x=1 \\ sinhx=2sinhxcoshx \\ coshx=sin{h}^{2}x+cos{h}^{2}x \\ cos{h}^{2}x=\frac{cosh2x+1}{2} \\ sin{h}^{2}x=\frac{cosh2x-1}{2} \\ tan{h}^{2}x=1-sec{h}^{2}x \\ cot{h}^{2}x=1+csc{h}^{2}x \end{gathered}$$