飞机布雷盖航程公式

布雷盖航程公式（Breguet Range Equation）是描述飞行器巡航飞行阶段航程的重要方式，它是根据航迹积分得到的。

1. 喷气式飞机布雷盖航程公式推导

推导遵循以下假设：

• 飞机以恒定马赫数 $Ma$ 和恒定高度巡航；
• 升阻比 $\frac{L}{D}$ 保持恒定；
• 比耗油率 $c$ （产生单位推力消耗的燃油重量）；

喷气式飞机的燃油消耗率与推力成正比：
$$\frac{dW}{dt}=-c\cdot T\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式中：

• $W$ 是飞机的重量；
• $T$ 是巡航阶段发动机的推力；
• $c$ 是比耗油率；

在平飞巡航时，发动机推力 $T$ 等于阻力 $D$，而升力 $L$ 等于重量 $W$，于是有：
$$T=D=\frac{W}{(L/D)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
综合(1)、(2)有：
$$\frac{dW}{dt}=-c\cdot \frac{W}{(L/D)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
那么：
$$dt=-dW\cdot \frac{(L/D)}{c\cdot W}\text{\hspace{1em}(4)}$$
航程计算公式：
$$R=\int Vdt\text{\hspace{1em}(5)}$$
上式中：

• $R$ 是航程；
• $V$ 是巡虛速度；

代入 (4) 式有：
$$\begin{array}{rl}R=& {\int }_{t_0}^{t_1}Vdt\\ & ={\int }_{W_0+W_f}^{W_0}-V\frac{(L/D)}{c\cdot W}dW\\ & =V\cdot \frac{(L/D)}{c}ln\frac{W_0+W_f}{W_0}\\ & =const\cdot \frac{1}{c}\cdot (Ma\cdot \frac{L}{D})ln\frac{W_0+W_f}{W_0}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
上式中：

• $W_0$ 是起飞时除燃料以外的其他重量；
• $W_f$ 是携带的燃料重量；
• $Ma$ 是飞行马赫数；
• $const$ 是一个转换常数；

上式说明，对于喷气式飞机要增加航程可以有以下措施：

• 对于气动设计师，应该使巡航效率 $Ma\cdot \frac{L}{D}$ 尽可能大；
• 对于航空发动机研发者，应该使比耗油率 $c$ 尽可能低；
• 对于结构设计师，应使结构更轻以使 $W_0$ 更小；
• 提高巡航速度有助于增加航程，但要权衡速度与燃油效率的关系；

2. 螺旋桨飞机布雷盖航程公式推导

推导遵循以下假设：

• 飞机以恒定马赫数 $Ma$ 和恒定高度巡航；
• 升阻比 $\frac{L}{D}$ 保持恒定；
• 螺旋桨功率转化效率 $\eta$ 保持恒定；
• 比耗油率 $c_P$ （产生单位功率消耗的燃油重量）；

螺旋桨飞机的燃油消耗率与发动机输出功率 $P$ 成正比：
$$\frac{dW}{dt}=-c_P\cdot P\text{\hspace{1em}(7)}$$
平飞巡航时，所需的功率为：
$$P=\frac{T\cdot V}{\eta }=\frac{D\cdot V}{\eta }=\frac{W\cdot V}{\eta \cdot (L/D)}\text{\hspace{1em}(8)}$$
结合 (7)、(8) 有：
$$\frac{dW}{dt}=-c_P\cdot \frac{W\cdot V}{\eta \cdot (L/D)}\text{\hspace{1em}(9)}$$
那么有如下航程计算公式：
$$\begin{array}{rl}R=& {\int }_{t_0}^{t_1}Vdt\\ & ={\int }_{W_0+W_f}^{W_0}-V(\frac{\eta \cdot (L/D)}{c_P\cdot W\cdot V})\cdot dW\\ & =\frac{\eta \cdot (L/D)}{c_P}ln\frac{W_0+W_f}{W_0}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
上式中各符号含义与前文保持一致。可以发现，在螺旋桨飞机的航程公式中，飞行速度 $V$ 被抵消，航程与速度无直接关系。

3. 喷气式飞机与螺旋桨飞机的差异分析

3.1 喷气式飞机的推力产生机制

喷气式发动机的推力产生过程基于动量变化原理，即通过高速喷出气流产生反作用力，整个过程可分为以下几个步骤：

• （1）吸入空气：空气被吸入发动机并压缩，进入燃烧室；
• （2）燃烧与膨胀：燃料在燃烧室中与压缩空气混合燃烧，产生高温高压的气体。
• （3）喷气排出：高温气体通过涡轮和尾喷管高速喷出，喷出气流的动量与进入气流的动量差形成推力。

在这个过程中，推力的大小主要由喷出的气体流速和质量流量决定。喷气发动机产生的推力主要与气流速度的增量（即出口与入口的速度差）相关，而不是与外部飞行速度直接相关，喷气发动机的推力在亚声速范围内可以保持相对稳定。因此，喷气发动机的推力有以下特点：

• 动量不随速度明显变化：即使飞行速度增加，喷气发动机内部产生的动量增量（出口与入口速度差）相对恒定。因此，推力不会显著随飞行速度变化。
• 推力与飞行速度相对独立：喷气式发动机推力的产生更多依赖于内部的燃烧和气流加速过程，飞行速度的增加不会直接减少喷气排出速度，推力不会产生显著变化。

3.2 螺旋桨推进推力产生机制

螺旋桨推进的推力产生机制是通过桨叶旋转产生“推力”，类似于旋转的机翼，螺旋桨叶片旋转时会产生升力，这种升力在前进方向上的分量就是推力。螺旋桨推力随着飞行速度变化而显著变化的原因如下：

• 相对风速变化的影响：螺旋桨的推力取决于叶片相对于空气的相对速度，相对速度是螺旋桨的旋转速度与飞机前进的合成速度。当飞行速度增加时，螺旋桨叶片的相对气流的角度（迎角）会发生变化，这会显著影响螺旋桨的气动性能和推力输出。随着飞行速度增加，迎角减小，螺旋桨的推力会减小，当飞行速度增加到一定程序时，螺旋桨的迎角会降低到一个低效区，导致推力急剧下降。
• 桨叶阻力的影响：螺旋桨叶片的末端在高速飞行时会接近或超过声速，会产生激波从而增加阻力并降低螺旋桨效率，进一步减小了推力。（高速时，螺旋桨的推进效率会迅速降低）

相反，螺旋桨飞机的功率需求不随速度显著变化。功率的推力和速度的乘积，其定义如下：
$$P=T\cdot V\text{\hspace{1em}(11)}$$
在低速时，推力 $T$ 相对较高，而速度 $V$ 较低； 在高速时，推力 $T$ 减小，而速度 $V$ 增加。这种反向变化导致了功率 $P$ 随速度的变化较为平缓，不会像推力那样随速度剧烈变化。