我谈正态分布——正态偏态

正态分布的英文是Normal Distribution，normal是“正常”或“标准”的意思，中文翻译是正态，多完美的翻译，正态对应偏态，正态是指分布曲线左右对称，偏度为零。正态分布的峰度也为0。

话说现在的翻译真让人受不了，比如那个multi-head attention。head还有body是按身体的部位命名的，那可能是语言习惯，就像描述像素邻域，他们用north, south, southeast这样描述，但是我们用上、下，右下描述，如果中文用北、南、东南这样描述是不是很奇怪，语言习惯不一样。

不会翻译还不如不翻了，那些翻译为头的人到底有脑子吗？很烦那种不说人话的翻译。

言归正传

正态分布（Normal Distribution），也被称为高斯分布（Gaussian Distribution），是一种重要的连续型概率分布。它在自然和社会科学的许多领域中都有广泛的应用。

pdf和cdf

正态分布的概率密度函数可以表示为：
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$
其中，$x$是随机变量，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。记为$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

正态分布的图形是对称的，其形状像一个钟形曲线，均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）都位于分布的中心点。大部分数据集中在平均值附近，随着离平均值距离的增加，数据出现的概率迅速减少。

正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的分布函数为

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$

它是一条光滑上升的 S 形曲线。

参数

正态分布中的两个参数——均值$\mu$和标准差$\sigma$如何影响正态分布图形的形状和位置。

1. 如果固定 $\sigma$，改变$\mu$的值，则曲线沿 x 轴平移，而不改变其形状。也就是说正态密度函数的位置由参数 $\mu$所确定，因此称 $\mu$为位置参数。

2. 如果固定 $\mu$，改变 $\sigma$的值，则分布的位置不变，但 $\sigma$愈小，曲线呈高且窄，数据更加集中于均值周围；$\sigma$愈大，曲线呈低且宽，数据较为分散。也就是说正态密度函数的尺度由参数 $\sigma$所确定，因此称$\sigma$为尺度参数。

总结，均值$\mu$决定分布的位置，而标准差$\sigma$则决定了分布的宽度和数据的集中程度。

标准正态分布

设定随机变量$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，并将其标准化为$U=\frac{X-\mu }{\sigma }$，使得$U$服从标准正态分布$N(0,1)$。

对于标准正态分布（均值为0，标准差为1），概率密度函数为：
$$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$
标准正态分布的累积分布函数：
$$\Phi (z)={\int }_{-\infty }^z\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

期望和方差

好巧不巧，正态分布的两个参数正好是均值和标准差。正态分布就是那么完美。

假设$U$服从标准正态分布$N(0,1)$

1. 均值的计算：

   • 计算$U$的期望值$E(U)$：
     $$E(U)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }u{e}^{-\frac{u^2}{2}}du$$
     由于被积函数是一个奇函数，其积分结果为零，即$E(U)=0$。
   • 因此，根据$X=\mu +\sigma U$，可以得出$X$的期望值$E(X)$：
     $$E(X)=\mu +\sigma \times 0=\mu$$
   • 结论：正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的均值为$\mu$。

2. 方差的计算：

   • 首先计算$U$的方差$Var(U)$或者说是$U^2$的期望值$E(U^2)$：
     $$E(U^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}^2{e}^{-\frac{u^2}{2}}du$$
     利用分部积分法，最终得到$E(U^2)=1$。
   • 根据$X=\mu +\sigma U$，可以得出$X$的方差$Var(X)$：
     $$Var(X)=Var(\mu +\sigma U)={\sigma }^{2}Var(U)={\sigma }^2\times 1={\sigma }^2$$
   • 结论：正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的方差为${\sigma }^2$。

注意：$E(X)=\mu$、$Var(X)={\sigma }^2$，均值$\mu$和方差${\sigma }^2$是正态分布的参数，只是在正态分布中正好等于期望和方差，而$E(X)$和$Var(X)$是统计量，注意分区概念。有些刊物真是离谱了。
例如，Rafael Gonzalez的《数字图像处理》，此外这个$a$也真多余。

和这个

分布形态

对于一个连续随机变量$X$，其概率密度函数$f(x)$描述了$X$在某个特定值$x$处的概率密度。需要注意的是，$f(x)$不直接表示概率，而是表示概率的密度。

对于任意区间$[a,b]$，随机变量$X$落在这个区间内的概率可以通过计算该区间上的曲线下面积来得到。数学上，这可以通过积分来表示：
$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$
要计算$X$落在某个区间$[a,b]$内的概率，可以使用正态分布的累积分布函数（CDF）：
$$P(a\le X\le b)=\Phi (b)-\Phi (a)$$
其中，$\Phi (x)$是正态分布的累积分布函数。

假设要计算标准正态分布中$Z$落在$[-1,1]$区间内的概率。

1. 计算$\Phi (1)$：
   $$\Phi (1)={\int }_{-\infty }^1\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\approx 0.8413$$

2. 计算$\Phi (-1)$：
   $$\Phi (-1)={\int }_{-\infty }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\approx 0.1587$$

3. 计算概率：
   $$P(-1\le Z\le 1)=\Phi (1)-\Phi (-1)=0.8413-0.1587=0.6826$$

因此，标准正态分布中$Z$落在$[-1,1]$区间内的概率约为0.6826，即68.26%。

$3\sigma$原则

• $1\sigma$区间：大约68.27%的数据点位于平均值$\mu$的一个标准差$\sigma$的范围内，即在$(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$之间。
  $$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.6827$$
• $2\sigma$区间：大约95.45%的数据点位于平均值$\mu$的两个标准差$2\sigma$的范围内，即在$(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma )$之间。
  $$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.9545$$
• $3\sigma$区间：大约99.73%的数据点位于平均值$\mu$的三个标准差$3\sigma$的范围内，即在$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之间。
  $$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.9973$$

正态分布的3σ原则指出，正态分布随机变量取值落在三倍标准差之外的概率非常小，大约是0.27%（即100% - 99.73%）。

• 落在$\mu \pm 3\sigma$之外的概率为$1-0.9973=0.0027$或者说约为0.27%。

在实际应用中，由于这个概率非常小，通常认为这样的事件几乎不会发生。因此，在很多情况下，可以将区间$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$视为正态分布随机变量的实际可能取值区间。这意味着在这个区间之外的值可以被视为异常值或者极端值。

这种处理方式简化了数据分析和决策制定的过程，尤其是在质量控制、过程改进等实际问题中，$3\sigma$原则提供了一种有效的方法来识别和处理异常数据点。这也就是所谓的正态分布的$3\sigma$原则。

normcdf(1)-normcdf(-1)
normcdf(2)-normcdf(-2)
normcdf(3)-normcdf(-3)

正态和偏态

正态

正态分布的曲线是左右对称的，其形状像一个钟形曲线，均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）都位于分布的中心点。

偏态

偏态分布是指数据分布不是对称的，而是偏向一侧。偏态可以是正偏（右偏）或负偏（左偏）。

• 当分布曲线的尾巴向右延伸时，称为正偏态；在正偏态分布中，大多数数据值集中在左侧，而右侧有较长的拖尾。
• 当分布曲线的尾巴向左延伸时，称为负偏态。而在负偏态分布中，大多数数据值集中在右侧，左侧有较长的拖尾。

瑞利分布

看瑞利分布，我喜欢这个分布，并不知道什么用，就是喜欢它的流线型。

对于参数为$\sigma$的瑞利分布，其概率密度函数 (PDF) 可以表示为：
$$f(x;\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)},x\ge 0$$

其中，$\sigma >0$是尺度参数。

• 均值（期望）：
  $$E(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

• 方差：
  $$Var(X)=\left(4-\pi \right)\frac{{\sigma }^2}{2}$$

瑞利分布的均值和方差如何随着形状参数 $\sigma$的变化而变化。具体来说，当 $\sigma$增大时，均值和方差都会相应地增加。

偏度 (Skewness)

瑞利分布的偏度是正的，表明分布是右偏的。具体来说，偏度${\gamma }_1$可以通过以下公式计算：
$${\gamma }_1=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\left(\frac{4-\pi }{2}\right)}^{-3/2}\approx 0.6311$$

峰度 (Kurtosis)

峰度描述了分布的尖峭程度，对于瑞利分布，其峰度${\beta }_2$可以表示为：
$${\beta }_2={\left(\frac{4-\pi }{2}\right)}^{-2}\cdot \left(3-\frac{6\pi }{4-\pi }+\frac{{\pi }^2}{2}\right)\approx 3.245$$

这里，峰度是指四阶标准化矩，而超峰度（excess kurtosis）则是指峰度减去3，因此瑞利分布的超量峰度为：
$$\text{Excess Kurtosis}={\beta }_2-3\approx 0.245$$

正态分布的偏度为0，峰度为3（超峰度为0），而瑞利分布的偏度为正值，峰度略大于3，这反映了它的分布形态特点。

比较

• 对称性：正态分布是对称的，而偏态分布是非对称的。
• 中心位置：在正态分布中，均值、中位数和众数都是相同的；而在偏态分布中，这三个统计量通常不同，且它们之间的关系可以用来判断偏态的方向。