6.11 极分解

计算方法

  一个复数可以写成极坐标形式:$z=r{e}^{i\theta }$.这种分解，左边代表长度，右边代表角度。由此为灵感来源，前人对矩阵也有类似的分解。就是猜想一个线性变换对矩阵的作用，是不是可以分解为拉长和旋转两部分呢？或者说，一个矩阵是不是可以分解为长度和角度呢？前人经过研究，发现是可以这样分解的。一个矩阵A可以分解为一个酉矩阵和正定埃尔米特阵的乘积，也就是：
$$A=U|T|$$
  需要注意的是右边虽然是一个绝对值符号，但是不是一个数字，而是一个矩阵。 它的定义是$|T|=\sqrt{T^{H}T}$,虽然我们没学过矩阵函数，但是也能知道给矩阵$A$开根号就是求一个矩阵$B$，它乘自己得到$A$。这个埃尔米特阵用来代表长度。而前面那个酉矩阵用来代表角度。这样就把线性变换的两大作用进行了分解。
  极分解的计算方法严重依赖于奇异值分解。假设已经求出来了奇异值分解，那么矩阵的极分解就很容易得到了：
$$A=(U{V}^H)(V\Sigma V^H)$$
  比如以下就是一个极分解：
$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$$

代码实现

  因为严重依赖奇异值分解，所以极分解的代码相当简单：

    # 极分解def polar_decomposition(self):u, sigma, v = self.svd()v_h = v.hermitian_transpose()return u * v_h, v * sigma * v_h