单相锁相环，原理与Matlab实现

单相锁相环基本原理

  单相锁相环的基本原理图如下所示，$u_{\alpha }$$u_{\beta }$经Park变换、PI控制实现对角频率$\omega$和角度$\theta$的估算。不同锁相环方案之间的差异，主要表现在正交电压$u_{\beta }$的生成，以下对几种常见方案进行介绍。

延时正交方案

  一种比较直观的方案，是对输入信号$u_{\alpha }$延时四分之一个周期从而构建正交信号$u_{\beta }$，如下所示：

  仿真结果如下：

全通滤波器正交方案

  此外，还可以利用全通滤波器在特定频率${\omega }_0$处产生-90度相位的特点，构建正交信号。全通滤波器传递函数如下：
$$H\left(s\right)=\frac{-s+{\omega }_0}{s+{\omega }_0}$$
  全通滤波器波特图验证如下：

  波特图代码为：

Ca = tf([-1 2*pi*50],[1 2*pi*50])
bode(Ca)

  对应的仿真框图如下所示（结果图与此前类似，不再展示）：

SOGI正交方案

  另一种构建正交的方案，可以采用二阶积分的形式，同时考虑对$u_{\alpha }$进行带通滤波，对应的传递函数如下：

$$\{\begin{array}{r}{H}_{\alpha }\left(s\right)=\frac{k{\omega }_{0}s}{s^2+k{\omega }_{0}s+{{\omega }_0}^2}\\ H_{\beta }\left(s\right)=\frac{k{{\omega }_0}^2}{s^2+k{\omega }_{0}s+{{\omega }_0}^2}\end{array}$$

  波特图验证如下：

  波特图代码如下：

CaAlpha = tf([0.707*2*pi*50 0], [1 0.707*2*pi*50 (2*pi*50)^2]);
CaBeta = tf([0.707*(2*pi*50)^2], [1 0.707*2*pi*50 (2*pi*50)^2]);
bode(CaAlpha,CaBeta)
legend("CaAlpha","CaBeta")

  对应的仿真框图如下所示：

Park正交方案

  还可以利用，低通滤波+Park反变换，实现正交信号构建，如下所示：

补充说明

1. 本文侧重点是基本的正交信号生成方案，更多锁相环相关技术，如控制参数设计、其他正交方案等，可移步参考文献[1]；
2. 锁相环的数字化实现可移步参考文献[2]，或移步至传递函数离散化方法；

参考文献

[1] Ciobotaru M , Teodorescu R , Blaabjerg F .A New Single-Phase PLL Structure Based on Second Order Generalized Integrator[J].IEEE, 2006.DOI:10.1109/PESC.2006.1711988.
[2] Han Y , Luo M , Zhao X ,et al.Comparative Performance Evaluation of Orthogonal-Signal-Generators-Based Single-Phase PLL Algorithms—A Survey[J].IEEE Transactions on Power Electronics, 2015, 31(5):3932-3944.DOI:10.1109/TPEL.2015.2466631.