中心极限定理的三种形式

独立同分布的中心极限定理：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是独立同分布的随机变量序列，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2>0$存在，则随机变量之和${\sum }_{i=1}^n{X}_i$的标准化变量$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$的分布函数$F_n(x)$对于任意$x$满足${\lim }_{n\to \infty }{F}_n(x)=\Phi (x)$，其中$\Phi (x)$是标准正态分布的分布函数。

概率统计中的定义从来不说人话。独立同分布中心极限定理结果的有三种解释形式。然而有人总掺和到一起说。

1. 设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是独立同分布的随机变量序列，每个$X_i$都有相同的期望值$\mu$和有限的方差${\sigma }^2$。随机变量的和$S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，当$n$充分大时，$S_n$的分布趋近于均值为$n\mu$、方差为$n{\sigma }^2$的正态分布：

$$S_n\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)$$

2. 均值为$\mu$、方差为${\sigma }^2>0$的独立同分布的随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$的算术平均$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k$，当$n$充分大时，近似地服从均值为$\mu$、方差为${\sigma }^2/n$的正态分布。
   $$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

3. 假设有任意分布的总体，其均值为$\mu$，方差为${\sigma }^2$（有限值）。从这个总体中抽取$n$个独立样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，当样本数$n$充分大时，样本均值$\bar{X}$近似服从正态分布，其均值为$\mu$，标准差为$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。
   这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。