蓝桥杯备赛（持续更新）

16届蓝桥杯算法类知识图谱.pdf

1. 格式打印

%03d：如果是两位数，将会在前面添上一位0

%.2f：会保留两位小数

如果是long，必须在数字后面加上L。

2. 进制转化

2.1. 十进制转任意进制：

十进制转任意进制时，将这个十进制数除以进制数，比如2（也就是十进制转二进制），得到商和一个从0~1的余数，然后再以这个商为被除数，除了进制数2，继续得到商和一个从0~1的余数。以此方式不断相除，直到得到的商为0为止。此时，得到若干个余数，把这些余数按从后到先的顺序排列起来，那么这个排列起来的值即为该十进制转换成二进制的值。计算如图所示：

最后得到的余数为二进制的非零的最高位，最先得到的余数为二进制的最低位，可知：十进制数9转换成二进制数为1001。

2.2. 任意进制转十进制：

任意进制转十进制时，以二进制数1001为例：该进制的最低位（右一）的值1就表示实际的十进制值1，次低位（右二）的值0表示进制数2的一次方的0倍即为0，次次低位（右三）的值0表示进制数2的二次方4的0倍即为0，最高位（左一）的值1表示进制数2的三次方8的1倍即为8，以此类推，将每位得到的十进制数相加得到9，该和即为二进制数1001对应的十进制数。计算如图所示：

3. 一维前缀和

1. 快速求解某区间内的各种形式的和即可使用
2. 使用迭代求和

sum[i]=sum[i-1]+num[i]

4. 一维差分

1. bi = ai-ai-1

其中b1 = a1

1. 如果c是b的前缀和：即，ci = ci-1 + bi
2. 那么c就是原数组a

4.1. 常见性质

1. 差分数组都是0，说明原数组每个元素都相同
2. 差分数组的前缀和就是原数组
3. 如果bl + d 与 br+1 - d同时作用，则c数组就是原数组ai+d的结果
4. 对差分的某一个位置减一等价于对原数组此位置及以后的位置减一

4.2. 特殊数列

数列： 1 4 10 20 35

对应的差分数列：1 3 6 10 15

差分数列是等差数列

5. 快读模板

static FastReader in = new FastReader(); // 创建一个静态的 FastReader 对象，用于处理输入
static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out); // 创建一个静态的 PrintWriter 对象，用于输出数据// FastReader 类，用于处理高效的输入
static class FastReader {static BufferedReader br; // 静态的 BufferedReader，用于高效读取输入static StringTokenizer st; // 静态的 StringTokenizer，用于将输入字符串分割为标记// 构造函数，初始化 BufferedReader 以从标准输入读取数据FastReader() {br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); // 使用 System.in 作为输入流初始化 BufferedReader}// next() 方法，返回下一个字符串标记String next() {String str = ""; // 定义一个空字符串，用于存储读取到的行// 如果 StringTokenizer 为 null 或没有更多标记可读取，读取新行while (st == null || !st.hasMoreElements()) {try {str = br.readLine(); // 使用 BufferedReader 读取一整行输入} catch (IOException e) { // 捕获可能的 I/O 异常throw new RuntimeException(e); // 如果发生异常，抛出运行时异常}st = new StringTokenizer(str); // 将读取到的行传递给 StringTokenizer 进行分割}return st.nextToken(); // 返回 StringTokenizer 的下一个标记}// nextInt() 方法，返回下一个整数输入int nextInt() {return Integer.parseInt(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为整数}// nextDouble() 方法，返回下一个双精度浮点数输入double nextDouble() {return Double.parseDouble(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为双精度浮点数}// nextLong() 方法，返回下一个长整数输入long nextLong() {return Long.parseLong(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为长整数}
}

1. StringTokenizer 的分词作用 ：

• • StringTokenizer 的作用是将一行输入拆分成多个标记，便于依次处理（比如单词或数字）。
  • 可以理解为：st 是一个“分词器”，根据空格等分隔符来划分输入。

1. 总结记忆方法：

1. 1. 输入原理：BufferedReader + StringTokenizer = 快速读取并分词。
   2. 输出原理：PrintWriter = 快速输出。
   3. 类型方法：next() 负责读取字符串标记，nextInt() 等方法负责类型转换。

6. 二维差分

二维差分是在一维差分的基础上推导的公式。

之前学过，差分数组的前缀和就是原数组，由此进行推导即可。

使用 s表示前缀和数组，a表示原数组。

则：

s(i,j) = a(i,j) + s(i-1,j) + s(i,j-1) - s(i-1,j-1)

那么我们现在要求二维差分数组，就：

1. 将原数组看做差分数组
2. 将前缀和看做原数组

具体原因见下图。

那么，我们要求差分（定为 b），就将差分移到左边（原式中的 a）：

a(i,j) = s(i,j) - s(i-1,j) - s(i,j-1) + s(i-1,j-1)

更换为正确的字母后：

b(i,j) = a(i,j) - a(i-1,j) - a(i,j-1) + a(i-1,j-1)

上式就是二维差分的公式。

要求原数组的话，就将 b 求前缀和即可。

6.1. 二维数组对于某个区域加常数 c

使用二维差分数组。

b(x1,y1) += c;

b(x1,y2+1) -= c;

b(x2+1,y1) -= c;

b(x2+1,y2+1) += c;（多减了一次）

之后再对 b 数组求前缀和得到二维原数组。

1. 格式打印

%03d：如果是两位数，将会在前面添上一位0

%.2f：会保留两位小数

如果是long，必须在数字后面加上L。

2. 进制转化

2.1. 十进制转任意进制：

十进制转任意进制时，将这个十进制数除以进制数，比如2（也就是十进制转二进制），得到商和一个从0~1的余数，然后再以这个商为被除数，除了进制数2，继续得到商和一个从0~1的余数。以此方式不断相除，直到得到的商为0为止。此时，得到若干个余数，把这些余数按从后到先的顺序排列起来，那么这个排列起来的值即为该十进制转换成二进制的值。计算如图所示：

最后得到的余数为二进制的非零的最高位，最先得到的余数为二进制的最低位，可知：十进制数9转换成二进制数为1001。

2.2. 任意进制转十进制：

任意进制转十进制时，以二进制数1001为例：该进制的最低位（右一）的值1就表示实际的十进制值1，次低位（右二）的值0表示进制数2的一次方的0倍即为0，次次低位（右三）的值0表示进制数2的二次方4的0倍即为0，最高位（左一）的值1表示进制数2的三次方8的1倍即为8，以此类推，将每位得到的十进制数相加得到9，该和即为二进制数1001对应的十进制数。计算如图所示：

3. 一维前缀和

1. 快速求解某区间内的各种形式的和即可使用
2. 使用迭代求和

sum[i]=sum[i-1]+num[i]

4. 一维差分

1. bi = ai-ai-1

其中b1 = a1

1. 如果c是b的前缀和：即，ci = ci-1 + bi
2. 那么c就是原数组a

4.1. 常见性质

1. 差分数组都是0，说明原数组每个元素都相同
2. 差分数组的前缀和就是原数组
3. 如果bl + d 与 br+1 - d同时作用，则c数组就是原数组ai+d的结果
4. 对差分的某一个位置减一等价于对原数组此位置及以后的位置减一

4.2. 特殊数列

数列： 1 4 10 20 35

对应的差分数列：1 3 6 10 15

差分数列是等差数列

5. 快读模板

static FastReader in = new FastReader(); // 创建一个静态的 FastReader 对象，用于处理输入
static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out); // 创建一个静态的 PrintWriter 对象，用于输出数据// FastReader 类，用于处理高效的输入
static class FastReader {static BufferedReader br; // 静态的 BufferedReader，用于高效读取输入static StringTokenizer st; // 静态的 StringTokenizer，用于将输入字符串分割为标记// 构造函数，初始化 BufferedReader 以从标准输入读取数据FastReader() {br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); // 使用 System.in 作为输入流初始化 BufferedReader}// next() 方法，返回下一个字符串标记String next() {String str = ""; // 定义一个空字符串，用于存储读取到的行// 如果 StringTokenizer 为 null 或没有更多标记可读取，读取新行while (st == null || !st.hasMoreElements()) {try {str = br.readLine(); // 使用 BufferedReader 读取一整行输入} catch (IOException e) { // 捕获可能的 I/O 异常throw new RuntimeException(e); // 如果发生异常，抛出运行时异常}st = new StringTokenizer(str); // 将读取到的行传递给 StringTokenizer 进行分割}return st.nextToken(); // 返回 StringTokenizer 的下一个标记}// nextInt() 方法，返回下一个整数输入int nextInt() {return Integer.parseInt(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为整数}// nextDouble() 方法，返回下一个双精度浮点数输入double nextDouble() {return Double.parseDouble(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为双精度浮点数}// nextLong() 方法，返回下一个长整数输入long nextLong() {return Long.parseLong(next()); // 使用 next() 方法读取字符串并转换为长整数}
}

1. StringTokenizer 的分词作用 ：

• • StringTokenizer 的作用是将一行输入拆分成多个标记，便于依次处理（比如单词或数字）。
  • 可以理解为：st 是一个“分词器”，根据空格等分隔符来划分输入。

1. 总结记忆方法：

1. 1. 输入原理：BufferedReader + StringTokenizer = 快速读取并分词。
   2. 输出原理：PrintWriter = 快速输出。
   3. 类型方法：next() 负责读取字符串标记，nextInt() 等方法负责类型转换。

6. 二维差分

二维差分是在一维差分的基础上推导的公式。

之前学过，差分数组的前缀和就是原数组，由此进行推导即可。

使用 s表示前缀和数组，a表示原数组。

则：

s(i,j) = a(i,j) + s(i-1,j) + s(i,j-1) - s(i-1,j-1)

那么我们现在要求二维差分数组，就：

1. 将原数组看做差分数组
2. 将前缀和看做原数组

具体原因见下图。

那么，我们要求差分（定为 b），就将差分移到左边（原式中的 a）：

a(i,j) = s(i,j) - s(i-1,j) - s(i,j-1) + s(i-1,j-1)

更换为正确的字母后：

b(i,j) = a(i,j) - a(i-1,j) - a(i,j-1) + a(i-1,j-1)

上式就是二维差分的公式。

要求原数组的话，就将 b 求前缀和即可。

6.1. 二维数组对于某个区域加常数 c

使用二维差分数组。

b(x1,y1) += c;

b(x1,y2+1) -= c;

b(x2+1,y1) -= c;

b(x2+1,y2+1) += c;（多减了一次）

之后再对 b 数组求前缀和得到二维原数组。