《线性代数的本质》

之前收藏的一门课，刚好期末复习，顺便看一看哈哈
课程链接：【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方双语】

向量究竟是什么

线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量，需要先明白什么是向量

不同专业对向量的看法

• 物理专业：长度和方向
• 计算机专业：有序的数字列表
• 数学专业：加法和数乘

思考向量的特定方式
几何方面：向量是空间中的箭头，线性代数中，一般选择原点作为起点。可以和数字列表结合起来，为了把点（-2， 3）和向量（-2， 3）区分开来，一般将向量竖着写，用方括号括起来，这样每一对数和向量就一一对应了，三维空间类似。


向量加法
将w向量从原点沿着v向量的方向向上平移，如下图所示，可以得到两向量的和向量。视频中提到，将向量看作一种运动，就是想空间中某一方向移动一段距离，例如，先沿着v运动，再沿着w运动，和你沿着他们的和向量运动是一样的。


向量数乘
将一个数字乘以一个向量，相当于对这个向量进行缩放，这个数字也称为“标量”,主要作用就是对向量进行缩放

线性组合：张成的空间与基

二维平面，有两个特殊的向量，”基向量“，每当我们使用数字描述向量，它都依赖于我们正在使用的基。两个向量全部线性组合构成的向量称为**“张成的空间”**

当考虑一个向量的时候，将其看作箭头，当考虑多个向量的时候，就将每个向量看作一个点，在三维空间中取两个指向不同方向的向量，对红和蓝两标量进行缩放相加，可以得到绿色，逐渐改变标量，可以得到一个过坐标原点的平面，此时随机加入一个向量，该向量不在之前两向量张成的空间内，由于他们指向不同方向，所以可以得到所有的三维向量，可以理解为第三个向量将前两个向量张成的平面来回移动，从而扫过整个空间。

• 线性相关：一个向量可以表示为其他向量的线性组合
• 线性无关：如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度，则被称为线性无关

基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

矩阵和线性变换

我感觉这个up通过可视化进行讲述，先举出特定的例子帮助理解，然后再归一到一般情况进行全面总结。这里，线性变化抓住最本质的东西，确定基向量，将矩阵看作空间的变换。

线性变换的理解：
函数，根据输入，得到输出的过程，而变换，则暗示以特定方式来可视化这一输入输出的关系。
空间中的变换的多样的，线性代数的变换更容易理解，怎么理解线性呢？需要满足两个条件，一个是变换之后直线依然是直线，二是原点必须保持固定。保证了网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。将矩阵看作空间变换，这个思想对后续章节都有作用

如何用数值描述线性变换，给定一个向量坐标，可以得到一个变换之后的向量坐标？实际只需要记住基向量变换之后的位置，由此可见，一个线性变换只要四个元素就可以确定，变换后i帽的两个坐标和变换后j帽的两个坐标。

矩阵乘法与线性变换复合的联系

回顾之前的内容，线性变换是将向量作为输入和输出的函数，可以将线性变换看作是对空间的挤压，他保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不变，核心在于抓住基向量的变化，因为其他向量都可以通过基向量表示。

矩阵乘法的意义就是，就是两个变换的相继作用

就像求解函数的时候，总是从里到外，从右向左进行求解，矩阵运算也是一样的，我们先进行旋转操作，再进行剪切操作，也是从右向左进行操作。

我们看一下如何进行运算，首先看M1的第一列，这是i向量第一变换后的结果，然后计算其在M2作用下的结果，得到符合运算的第一列；同理j帽的变化类似


相继变换的一些性质：
由下面两图可以看出，两次作用的先后顺序对结果是有影响的


但是线性变换满足结合律，因为并没有改变作用的顺序，还是从左到右进行变换操作，因此矩阵乘法具有结合性。