费曼路径积分简单示例

费曼路径积分简单示例

费曼路径积分是量子力学中的一种计算方法，它通过对所有可能路径的贡献进行积分，来计算粒子从一个点到另一个点的概率幅。与经典力学不同，经典力学中粒子沿着使作用量最小的路径运动，而在量子力学中，粒子可以同时沿着无数条路径运动。费曼路径积分方法由理查德·费曼提出，成为量子场论和统计力学中的重要工具。

公式推导

费曼路径积分的基本思想是将粒子从起点 $A$ 到终点 $B$ 的传播振幅表示为所有可能路径的贡献之和。具体推导过程如下：

1. 作用量 ($S$)：

   作用量定义为拉格朗日量 $L$ 在时间上的积分：
   $$S[x(t)]={\int }_0^{T}L(x,\dot{x},t)dt$$
   其中，$L(x,\dot{x},t)$ 是拉格朗日量，通常表示为：
   $$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)$$

   解释：
   作用量 $S$ 描述了粒子在路径 $x(t)$ 上从时间 $0$ 到时间 $T$ 的运动情况。拉格朗日量 $L$ 包含了粒子的动能项 $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$ 和势能项 $V(x)$，反映了系统的动力学性质。

2. 传播振幅的表达式：

   粒子从点 $A$ 到点 $B$ 的传播振幅可以表示为：
   $$⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩=\int \mathcal{D}[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hslash }$$
   其中，$H$ 是哈密顿量，$\mathcal{D}[x(t)]$ 表示对所有可能路径进行积分。

   解释：
   传播振幅 $⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩$ 描述了粒子从状态 $|A⟩$ 经过时间 $T$ 演化到状态 $|B⟩$ 的概率幅。路径积分 $\int \mathcal{D}[x(t)]$ 表示将所有可能的路径 $x(t)$ 的贡献进行累加，每条路径的权重由指数项 $e^{iS[x(t)]/\hslash }$ 给出。

3. 离散化路径积分：

   为了计算路径积分，通常将时间分割成 $N$ 个小间隔，每个间隔的长度为 $\Delta t=T/N$。路径 $x(t)$ 则被近似为离散点 $x_0,x_1,\dots ,x_N$，其中 $x_0=A$，$x_N=B$。传播振幅的表达式变为：
   $$⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩\approx \underset{N\to \infty }{\lim }{\left(\frac{m}{2\pi i\hslash \Delta t}\right)}^{N/2}\int \prod _{j=1}^{N-1}d{x}_j\exp \left(\frac{i}{\hslash }\sum _{j=1}^N\left[\frac{m}{2}{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}\right)}^2-V(x_j)\right]\Delta t\right)$$

   解释：
   为了实际计算路径积分，我们将连续的时间轴离散化为有限的时间步长 $\Delta t$，并将路径 $x(t)$ 近似为一系列离散点 $x_0,x_1,\dots ,x_N$。传播振幅的表达式由这些离散点的积分近似表示，其中每一个积分 $\int d{x}_j$ 对应于在第 $j$ 个时间步的路径位置。指数中的求和项近似为作用量的离散形式，动能项 $\frac{m}{2}{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}\right)}^2$ 和势能项 $V(x_j)$ 分别对应拉格朗日量中的动能和势能部分。随着 $N\to \infty$，$\Delta t\to 0$，这种离散化方法将更精确地逼近连续的路径积分。

简单示例

考虑一个自由粒子系统，其拉格朗日量为：
$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$$
在这种情况下，作用量简化为：
$$S[x(t)]={\int }_0^T\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2}dt$$
路径积分表达式为：
$$⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩=\int \mathcal{D}[x(t)]\exp \left(\frac{i}{\hslash }{\int }_0^T\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2}dt\right)$$

路径积分的详细计算过程

为了计算上述路径积分，我们将按照以下步骤进行详细的推导和解释：

1. 路径的离散化

为了将路径积分转化为可计算的形式，我们首先将时间区间 $[0,T]$ 离散化为 $N$ 个小间隔，每个时间步长为 $\Delta t=\frac{T}{N}$。在这种离散化的框架下，路径 $x(t)$ 被近似为一系列离散点 $x_0,x_1,\dots ,x_N$，满足边界条件：
$$x(0)=x_0=A\text{和}x(T)=x_N=B$$

2. 作用量的离散化

在时间被离散化的情况下，作用量 $S[x(t)]$ 也可以被离散化为：
$$S[x(t)]\approx \sum _{j=1}^N\frac{1}{2}m{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}\right)}^2\Delta t$$
这里，$\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}$ 近似表示了粒子在第 $j$ 个时间步的速度。

3. 路径积分表达式的离散化

在离散化路径和作用量之后，路径积分表达式变为：
$$⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩\approx {\left(\frac{m}{2\pi i\hslash \Delta t}\right)}^{\frac{N}{2}}\int d{x}_1\int d{x}_2\cdots \int d{x}_{N-1}\exp \left(\frac{i}{\hslash }\sum _{j=1}^N\frac{1}{2}m{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}\right)}^2\Delta t\right)$$
其中，归一化因子 ${\left(\frac{m}{2\pi i\hslash \Delta t}\right)}^{\frac{N}{2}}$ 来自高斯积分的标准化。

4. 高斯积分的应用

由于作用量是二次型，路径积分可以被视为多维高斯积分，其形式为：
$$\int \prod _{j=1}^{N-1}d{x}_j\exp \left(\frac{i}{\hslash }\sum _{j=1}^N\frac{1}{2}m{\left(\frac{x_j-x_{j-1}}{\Delta t}\right)}^2\Delta t\right)$$
这种积分可以分解为若干个独立的高斯积分，每个积分对应一个位置变量 $x_j$。利用高斯积分的性质，最终可以得到传播振幅的解析表达式。

5. 传播振幅的最终表达式

通过对所有离散变量进行积分计算，并在 $N\to \infty$ 后取极限，我们得到自由粒子的传播振幅为：
$$⟨B|e^{-iHT/\hslash }|A⟩=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hslash T}}\exp \left(\frac{im(B-A{)}^2}{2\hslash T}\right)$$

详细解释

• 离散化时间和路径： 将连续的时间轴离散化是路径积分计算中的标准步骤。这种方法将无限维的路径积分转化为有限维的积分，使其在理论上可处理。

• 作用量的离散化： 将作用量离散化为时间步长的和，使得每个时间步的贡献可以单独计算。这也是实现路径积分的关键步骤，特别是当作用量是二次型时，高斯积分技术可以被有效应用。

• 高斯积分的应用： 当作用量为二次型时，路径积分可以利用高斯积分的性质被精确计算。这是因为二次型的指数函数对应于高斯分布，这种积分具有已知的解析解。

• 归一化因子的来源： 归一化因子确保了路径积分的正确量纲和概率解释。它来源于连续高斯积分的标准化常数。

• 最终结果的物理意义： 传播振幅的表达式体现了粒子从点 $A$ 到点 $B$ 的传播是受限于粒子的质量 $m$、普朗克常数 $\hslash$ 以及传播时间 $T$ 的影响。指数项中的 $(B-A{)}^2$ 表明路径的距离对振幅的相位有直接影响。

通过上述详细的计算过程和解释，我们不仅得到了自由粒子的传播振幅的具体表达式，还深入理解了路径积分方法在量子力学中的应用和意义。

Matlab演示程序

以下是一个Matlab程序，用于模拟自由粒子的路径积分。该程序通过随机生成多个粒子路径，计算每条路径的作用量，并求取传播振幅的近似值。改进之处包括更详细的注释、优化的路径生成方法以及结果的可视化。

% Matlab代码示例：计算自由粒子的路径积分（单位已缩放以避免数值不稳定）% 清除环境变量
clear; clc; close all;% 参数设置（采用无量纲单位：ħ = 1, m = 1, T = 1）
m = 1;          % 粒子质量（单位：1）
hbar = 1;       % 约化普朗克常数（单位：1）
T = 1;          % 总时间（单位：1）
N = 100;        % 时间分割数
dt = T / N;     % 每个时间步长
x0 = 0;         % 初始位置
xN = 0;         % 终止位置
num_paths = 10000; % 模拟路径数量（增加数量以提高精度）% 随机种子设置（可重复性）
rng(0);% 初始化路径数组
% 每行表示一条路径，每列表示一个时间步的位置
paths = zeros(num_paths, N+1);
paths(:,1) = x0;% 生成随机路径（确保路径从 x0 到 xN）
for i = 1:num_paths% 生成中间点mid_points = sqrt(dt) * randn(N-1,1);% 线性插值以确保路径起点和终点paths(i,2:N) = cumsum(mid_points) - (paths(i, end-1) + cumsum(mid_points)) * (paths(i,end-1) - xN) / (N-1);paths(i,end) = xN; % 确保终点
end% 计算每条路径的作用量
% 仅考虑自由粒子的拉格朗日量 L = 0.5 * m * v^2
S = 0.5 * m * sum((diff(paths,1,2)/dt).^2, 2) * dt;% 计算路径积分
% 归一化因子
norm_factor = (m / (2 * pi * 1i * hbar * dt))^(N/2);
% 使用矢量化方式计算指数项
path_integral = norm_factor * mean(exp(1i * S / hbar));% 显示结果
disp(['路径积分的近似值：', num2str(path_integral)]);
disp(['路径积分的模长：', num2str(abs(path_integral))]);
disp(['路径积分的相位：', num2str(angle(path_integral))]);% 可视化部分路径示例
figure;
num_display = 10; % 显示的路径数量
plot(linspace(0, T, N+1), paths(1:num_display,:)', 'LineWidth',1.5);
xlabel('时间 t (单位：1)');
ylabel('位置 x(t) (单位：1)');
title('部分粒子路径示例');
grid on;% 可视化作用量的分布
figure;
histogram(S, 50);
xlabel('作用量 S[x(t)] (单位：1)');
ylabel('路径数量');
title('作用量分布');
grid on;

程序说明：

1. 参数设置： 定义了粒子的质量、约化普朗克常数、总时间、时间分割数、初始和终止位置等参数。增加了粒子数量 num_paths 以提高模拟精度，并设置了随机种子以确保结果可重复。

2. 路径生成： 通过随机生成每个时间步的位移，构建多个粒子路径。位移遵循高斯分布，以模拟量子涨落。改进了路径生成方法，确保更好地满足终点条件。

3. 作用量计算： 对于每条路径，计算其对应的作用量 $S[x(t)]$，这里只考虑了自由粒子的拉格朗日量 $L=\frac{1}{2}m{v}^2$。

4. 路径积分计算： 使用矢量化方法计算所有路径的指数项，并对它们取平均，乘以归一化因子，得到传播振幅的近似值。

5. 结果输出与可视化：

   • 结果输出： 显示计算得到的路径积分近似值，包括其复数形式、模长和相位。
   • 路径可视化： 随机选择若干条路径进行绘图，以直观展示路径的随机性。
   • 作用量分布可视化： 绘制作用量 $S$ 的分布直方图，分析作用量在不同路径中的分布特征。

注意事项：

• 由于采用随机模拟方法，结果可能会有统计误差。增加 num_paths 可以提高结果的精确度，但会增加计算时间。
• 本示例仅适用于自由粒子系统，复杂系统需要考虑势能项的贡献，这将需要修改作用量的计算部分。
• MATLAB 的复数运算在处理高振荡积分时可能会遇到数值不稳定性，需要谨慎选择参数。
• 可视化部分是为了更好地理解路径和作用量分布，可根据需要调整显示的路径数量和直方图的分 bin 数量。