Algorithm:河内之塔
1. 说明
2. 解法
- 每次只能移动一个盘子。
- 不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
- 可以使用一个辅助棒(B)。
2.1 算法分析
- 如果只有一个盘子,直接从A移动到C。
- 如果有多个盘子:
2.2 C语言实现
2.3 示例运行
2.4 运行原理
- 将盘1和盘2移到辅助棒B:
- 将盘3移到目标棒C。
- 将盘1和盘2从辅助棒B移到目标棒C:

2.5 注意事项
- 此代码适用于任何正整数的盘子数量,但盘子数量较大时,递归深度可能超过栈的限制。
- 时间复杂度为 O(2^n),因此对大盘子数量的计算效率较低。
3. 附件
3.1 问题的分解特性
- 要把所有盘子从A移动到C,首先需要将除了最大的盘子之外的盘子从A移动到B,然后将最大的盘子从A移动到C,最后将剩下的盘子从B移动到C。
- 这个过程重复进行,直到只剩下一个盘子时,问题变得简单。
3.2 边界条件
- 在“河内之塔”中,当只有一个盘子时(即 n = 1),移动问题非常简单,直接将该盘子从起始棒移动到目标棒。
3.3 递归调用的结构
- 将 n-1 个盘子从起始棒移动到辅助棒。
- 将第 n 个盘子(即最大盘子)从起始棒移动到目标棒。
- 将 n-1 个盘子从辅助棒移动到目标棒。
3.4 数学归纳法的验证
- 当 n = 1 时,移动一个盘子显然是正确的。
- 假设对于 n = k 时,已经正确实现了将 k 个盘子从起始棒移动到目标棒。
- 对于 n = k+1,我们可以将问题分解为两个部分:首先递归地将 k 个盘子从起始棒移动到辅助棒,然后将第 k+1 个盘子(最大盘子)从起始棒移动到目标棒,最后递归地将 k 个盘子从辅助棒移动到目标棒。
3.5 总结
- 问题具有分解特性:大问题可以分解为更小的相同问题。
- 存在明确的基本情况,当问题规模为1时可以直接求解。
- 问题通过递归调用来逐步解决每个子问题,直到最小问题得到解决。
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