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计算机的错误计算(一百八十六)

摘要  就上节(即(一百八十五))内容,有读者来信,建议用另外一个大模型计算。本节详细讲解该大模型的对错,特别是涉及 Python Decimal的内容以及泰勒展式内容。

例1.  已知

f(x)=\frac{\tan(x)-\sin(x)}{x-\sqrt{1+x^2}}\,, \, x_0=0.125\textup{e}-6\,.

用大模型计算 f(x_0)\,.

       下面是与第三个大模型的对话。



       以上为大模型的输出。

点评:

     (1)大模型使用 Python 的 decimal 模块来确保高精度计算。这比上节的大模型有一点进步。

     (2)由于 Decimal中没有tan()、sin()等方法或函数,因此不得不先调用 math中函数。

     (3)但是,math中的 tan、sin、sqrt函数,其正确的有效位数有个上限:一般不会超过16位有效数字。这个由 double类型决定。比如,math.sin(190),虽然在内存中储存有0.9977992786806002545318960983422584831714630126953125(共52位有效数字),但是,只有前16位数字 “9977992786806002”是正确的。

     (4)上述上限16决定了程序结果的短板:正确的有效数字位数不会超过它,虽然 getcontext().prec = 50 .  实际上,“getcontext().prec = 50”是白白设置了。

     (5)“getcontext().prec = 50”  的注解:“设置精度为50位小数” 是错误的;应该是设置50位有效数字。

     (6)同样,由于使用了 math, 那么 Decimal也是白白被浪费了。

     (7)照这样计算下去,那么 tan(x0)与 sin(x0)均只有16位正确数字。而它们这些数字,即32位数字,几乎全部对应位置的数字相同。因此,相减后,正确数字所剩无几。再进行相除后,当然仍然没有几位正确数字。

     (8)在Python 3.12中执行大模型的代码,则输出为50位的值:-9.7938196768552311641126445270730663791431933912047E-22 .  这样,正如所料,正确数字只有2位。因为,16位的正确结果为 -0.9765626220703239e-21(ISRealsoft 提供)。 

     (9)大模型似乎也知道这一点。因此,它利用泰勒展式进行了化简。它的化简过程基本是正确的。

     (10)它的结果也基本正确。只有最后一位数字是错误的:不是'5', 而应是'6' .

     (11)若是结果保留16位有效数字,那么该怎么办呢?

     (12)首先,分母、分子均需保留最少16位有效数字。

     (13)对于分母,在其化简中,应保留 -\frac{x^2}{2} 。因为,x 的指数是-6;平方后也仅仅是-12,即使再除以 2,也才-13。这样的数与1相加减后,16位的结果中还保留3位左右呢。

     (14)当然,对于分母,x更不应该删去。

     (15)同样,分子中的 tan(x)与 sin(x)均应保留 x^5 项:\frac{2x^5}{15} 与 \frac{x^5}{5!}\,.

     (16)最终,化简后应为

 \displaystyle \frac{\frac{x^3}{2}+\frac{2x^5}{15}-\frac{x^5}{5!}}{x-1-\frac{x^2}{2}}\,.

     (17)这样,代入并相除以后,就会有16位正确有效数字。当然,最后一行的半句话“运行上述 Python 代码将给出更精确的结果。”是错误的。

     (18)另外,math中的 sin等函数有时会输出错误结果。比如,自变量比较大时。

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