Unity局部和世界坐标系相互转换的实现原理

注：本篇是基于唐老师的学习视频做的一些理论实践，需要提前知道一些线性代数的基础知识，原视频链接：

8.数学基础知识学习说明_哔哩哔哩_bilibili

前期准备：

知识点①：

        Unity中需要遵守的设定：

                1、我们约定变换顺序为：缩放->旋转->平移。

                2、我们约定旋转的顺序为：Z->X->Y。

知识点②：

        1、基础变换矩阵的构成规则：

        2、平移矩阵的定义：

                       逆矩阵     

        3、旋转矩阵的定义：    

                       绕X轴旋转度：                        绕Y轴旋转度：                       绕Z轴旋转度：

                                   

                因为旋转矩阵是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是它的转置矩阵。

                即：假设有旋转矩阵A，那么 

        4、缩放矩阵的定义：

                    逆矩阵   

局部坐标转世界：

        我们需要明白一个概念，在3D空间中，假设有一个结点R存在一个子节点A，那么如果R就是坐标原点，A的局部坐标系就是世界坐标系。如果结点R存在旋转，平移等变换，那么A的局部坐标依旧不会变，R的变换会带动A的变换。那么最终的世界坐标满足关系式：

M代表R的变换矩阵，A代表R在原点时的世界坐标（即局部坐标），A'代表最终的世界坐标。

再根据知识点1，得到矩阵M=平移矩阵A×旋转矩阵B×缩放矩阵C

便有如下代码：

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;public class Test : MonoBehaviour
{public Transform targetTrans;private void Start(){Vector4 startPos = new Vector4(targetTrans.localPosition.x, targetTrans.localPosition.y, targetTrans.localPosition.z, 1);Matrix4x4 scaleMatrix = ScaleMatrix(transform.localScale.x, transform.localScale.y, transform.localScale.z);Matrix4x4 rotateMatrix = RotateYMatrix(transform.eulerAngles.y)*RotateXMatrix(transform.eulerAngles.x)*RotateZMatrix(transform.eulerAngles.z);Matrix4x4 translateMatrix = TranslateMatrix(transform.position.x, transform.position.y, transform.position.z);//按照缩放->旋转（按照Z->X->Y顺序旋转）->平移的变换顺序Vector4 resPos = translateMatrix * rotateMatrix * scaleMatrix * startPos;Debug.Log(string.Format("局部坐标转世界坐标={0}",resPos));Debug.Log(string.Format("调用UnityAPI的结果={0}",transform.TransformPoint(startPos)));}//缩放矩阵private Matrix4x4 ScaleMatrix(float x,float y,float z){Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();targetMatrix.m00 = x;targetMatrix.m11 = y;targetMatrix.m22 = z;targetMatrix.m33 = 1;return targetMatrix;}//旋转矩阵(X轴)private Matrix4x4 RotateXMatrix(float angle){Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();targetMatrix.m00 = 1;targetMatrix.m11 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m12 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m21 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m22 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m33 = 1;return targetMatrix;}//旋转矩阵(Y轴)private Matrix4x4 RotateYMatrix(float angle){Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();targetMatrix.m00 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m02 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m11 = 1;targetMatrix.m20 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m22 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m33 = 1;return targetMatrix;}//旋转矩阵(Z轴)private Matrix4x4 RotateZMatrix(float angle){Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();targetMatrix.m00 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m01 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m10 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m11 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);targetMatrix.m22 = 1;targetMatrix.m33 = 1;return targetMatrix;}//平移矩阵private Matrix4x4 TranslateMatrix(float x,float y,float z){Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();targetMatrix.m03 = x;targetMatrix.m13 = y;targetMatrix.m23 = z;targetMatrix.m00 = 1;targetMatrix.m11 = 1;targetMatrix.m22 = 1;targetMatrix.m33 = 1;return targetMatrix;}
}

挂载脚本：

我们用了Unity自带的局部转世界的APITransform.TransformPoint进行结果对比，发现最终的计算结果是一样的（忽略第四个参数1.0，代表的含义是点）。

世界坐标转局部：

        由刚刚的公式推导，其实可以得到：

                                        ​​​​​​​                

        即局部坐标=逆变换*世界坐标

由上面的性质得到已知  矩阵M=平移矩阵A×旋转矩阵B×缩放矩阵C，那么矩阵M的逆矩阵

                                                         

矩阵A,B,C的逆矩阵都可以根据知识点2得到结果，最终就可以根据世界坐标和逆变换反推导局部坐标。