多目标优化常用方法：pareto最优解

生产实际中的许多优化问题大都是多目标问题，举个例子：我们想换一份工资高、压力小、离家近的新工作，这里工资高、压力小、离家近就是我们的目标，显然这是一个多目标问题，那我们肯定想找到这三个目标同时最优的工作，也就是我们的最优解，这就是多目标优化问题。

相比于单目标问题所求的最优解通常是全局最大或最小，在多目标问题中，通常多个目标是针对完全不同的方面，例如上述例子中的工资高、压力小、离家近这三个目标显然是相互排斥的，几乎不会存在一个工作能同时使这三个目标都达到最优，工资高的工作压力就会变大，压力小的工作离家可能很远，一个目标更好，其他几个优化目标的性能可能就会有不同程度的变差。因此我们需要有适合求解多目标问题的方法。

在多目标优化问题的求解上，主要有两种方式：

①加权法或顺序处理法：决策者对各个优化目标重要程度的排序，然后给各个目标一个权重。例如在上面的例子中，我们通过评估认为新工作工资高是最重要的，压力小和离家近次之，那么我们分别给工资高、压力小、离家近，0.5、0.3、0.2的权重，这样我们的最优解很容易通过类似0.5*（工作高）+0.3*（压力小）+0.2*（离家近）这样的计算方式找到。但这里的最优解是侧重工资高这一特定目标优化的单一解方案，不能使各个目标得到均衡优化。

②pareto最优解（集）：这是一个来源于经济学的方法，目前广泛应用于多目标优化问题。

首先我们要理解Pareto最优解是一个解集，并不是唯一的。该解集中每个解都是可行解中最优的解，也是所有优化目标均已达到相对最优的解，各解之间并没有优劣之别。根据决策者对问题求解目标的侧重点不同，Pareto解集中的任何解都可能成为最优解。

下面我们通过公式来理解”什么样的解是pareto最优解？“

m是优化目标的个数，X1和X2是两个可行解。当x1在任意优化目标上的函数值都不劣于x2，且x1至少在一个优化目标上的函数值优于解x2时，我们称x1为一个pareto占优解，将所有pareto占优解组合成一个解集，这个解集就叫做pareto最优解（集）。

另外我们来理解pareto前沿的概念：Pareto 最优解集中各个Pareto最优解对应的目标函数值组成的集合叫做Pareto前沿。

注意：Pareto 解集中的各个Pareto最优解之间均为互不占优的关系，每个Pareto最优解方案都有各自的目标偏好，决策者可以根据实际情况以及对各个目标的偏好程度选择更合适的解方案。