相机内外参知识

已知相机的内外参数矩阵，可以求得相机在世界坐标系下的原点坐标。这里需要理解几个概念：

1. 内参数矩阵（Intrinsic Matrix）: 描述相机本身的属性，比如焦距、主点位置等。
2. 外参数矩阵（Extrinsic Matrix）: 描述相机相对于世界坐标系的位置和姿态。

外参数矩阵通常由旋转矩阵$R$和平移向量$t$组成，它们一起描述了从世界坐标系到相机坐标系的转换。如果要计算相机原点在世界坐标系中的位置，则需要考虑这个变换的逆变换，即从相机坐标系到世界坐标系的变换。

设$R$为 3x3 的旋转矩阵，$t$为 3x1 的平移向量，那么外参数矩阵$[R|t]$描述了世界坐标系中的一点$X_w$如何通过旋转和平移到相机坐标系中对应的点$P_c$，可以用以下公式表示：

$$X_c=R\cdot X_w+t$$

对于相机坐标系的原点$O_c$，其在相机坐标系中的坐标是$(0,0,0{)}^T$。为了找到这个点在世界坐标系中的坐标 $O_w$，我们需要做逆变换。由于$O_c$在相机坐标系中是原点，所以我们可以简单地使用负的平移向量$-R^T\cdot t$来得到它在世界坐标系中的坐标，因为旋转矩阵的转置等于它的逆（$R^T=R^{-1}$，前提是$R$是正交矩阵），所以我们有：

$$O_w=-R^T\cdot t$$

这就是相机原点在世界坐标系下的坐标。如果你有具体的$R$和$t$值，可以直接代入上述公式进行计算。
如果文档或代码中没有明确指出，那么默认情况下外参数矩阵指的通常是 world2cam 变换。

齐次坐标系：
$X_c=[R|T]X_w$，这里的$[R|T]$表示的就是world2cam，也就是外参矩阵。此时相机原点在世界坐标系下坐标是$O_w=-R^T\cdot T$
$X_w=[R|T]X_c$，这里的$[R|T]$表示的是cam2world，此时相机原点在世界坐标系下坐标是$T[0],T[1],T[2]$