【高阶数据结构】AVL树

1.AVL的概念

1. AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。
2. AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
3. AVL树实现这里我们引入一个平衡因子（balance factor）的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。
4. 思考一下为什么AVL树是高度平衡⼆叉搜索树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。
5. AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比⼆叉搜索树有了本质的提升。

2.AVL树的实现

1.AVL树的结构

template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{	pair<k, v> _kv;  //键值对//需要parent指针，后序更新平衡因子可以看到AVLTreeNode<k, v>* _left;AVLTreeNode<k, v>* _right;AVLTreeNode<k, v>* _parent;int _bf = 0; //平衡因子AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;//using Node = AVLTreeNode<K, V>;public://...private:Node* _root = nullptr;
};

2.AVL树的插入

1. 插入一个值按⼆叉搜索树规则进行插入。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以需要更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，插入结束。

1.更新平衡因子

平衡因子更新原则：

1. 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
2. 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
3. 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子+1，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子-1。
4. parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

1. 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为 -1->0 或者 1->0，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
2. 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为 0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插如结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因高，所以要继续向上更新。
3. 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为 1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的⾼度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。
4. 不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

以下是三幅图的平衡因子更新过程：

• 更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理：
• 更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束：
• 最坏更新到根停止：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//根节点为空时if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//根节点不为空时Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入新节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//4种旋转情况if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

2.旋转

1. 保持搜索树的规则。
2. 让旋转的树重新变回平衡状态，其次降低旋转树的⾼度。
3. 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

1.右单旋

1. 下面的抽象图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体下图进行了详细描述。
2. 在a子树中插入一个新结点，导致a字树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
3. 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
   

下面给3幅图观察具体的旋转过程：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if(subLR)subLR->_parent = parent;//记录parent的父节点Node* pParent = parent->_parent; subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//当parent是根节点时if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else //当parent不是根节点时{subL->_parent = pParent;if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;}//更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

2.左单旋

1. 下图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟下面右单旋类似。
2. 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
3. 旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
   

下面给3幅图观察具体的旋转过程：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;//记录parent的父节点Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//当parent是根节点时if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else //当parent不是根节点时{subR->_parent = pParent;if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

3.左右双旋

• 先看一个例子：左边高时，如果插入的位置在5的右子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。如下图：
• 右单旋解决的纯粹的左边高，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

• 再来看一个例子：左边高时，如果插入的位置在8的左子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。
• 左右双旋解决：先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

• 最后看一个例子：左边高时，如果插入的位置在8的右子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。
• 左右双旋解决：先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

不同的场景，平衡因子的更新规则也不相同。如下三幅图：

• 场景一：5的右孩子8的平衡因子为0时：
• 场景二：5的右孩子8的平衡因子为-1时：
  
• 场景三：5的右孩子8的平衡因子为1时：
  

具体图转换为抽象图如下：

1. 当h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变成h，并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1。旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
2. 当h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h，并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1。旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
3. 当h==0时，a/b/c都是空树，8自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0。旋转后8和10和5平衡因子均为0。

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if(bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4.右左双旋

• 先看一个例子：右边高时，如果插入的位置在5的左子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。如下图：
• 左单旋解决的纯粹的右边高，5为跟的子树不再是单纯的右边高，对于5是右边高，但是对于10是左边高，需要用两次旋转才能解决，先以10为旋转点进行一个右单旋，再以5为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：
  

• 再来看一个例子：右边高时，如果插入的位置在8的左子树，以5为顶点采用左单旋无法解决问题，左单旋后，树依旧不平衡。如下图：
• 右左双旋解决：先以10为旋转点进行一个右单旋，再以5为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

• 最后看一个例子：右边高时，如果插入的位置在8的右子树，以5为顶点采用左单旋无法解决问题，左单旋后，树依旧不平衡。如下图：
• 右左双旋解决：先以5为旋转点进行一个右单旋，再以10为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

不同的场景，平衡因子的更新规则也不相同。如下三幅图：

• 场景一：10的左孩子8的平衡因子为0时：
• 场景二：10的左孩子8的平衡因子为-1时：
• 场景三：10的左孩子8的平衡因子为1时：

具体图转换为抽象图如下：

1. 当h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1。旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
2. 当h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1。旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
3. 当h==0时，a/b/c都是空树，12自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//更新平衡因子if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

3.AVL树的查找

按照⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

4.AVL树的平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，可以通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

public:int Height(){return _Height(_root);}bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == nullptr) return 0;int leftHelght = _Height(root->_left);int rightHelght = _Height(root->_right);return max(leftHelght, rightHelght) + 1;}bool _IsAVLTree(Node* root){//空树也是AVL树if (root == nullptr) return true;//计算当前节点的平衡因子：即高度差int leftHelght = _Height(root->_left);int rightHelght = _Height(root->_right);int bf = rightHelght - leftHelght;//如果计算出来的平衡因子的绝对值大于1，则一定不是AVL树if (abs(bf) > 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}//如果计算出来的平衡因子与root的平衡因子不相等时，则一定不是AVL树if (bf != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}//只有左右子树都是AVL树时：该树一定是AVL树return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}

void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;//常规的测试用例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//特殊的带有双旋场景的测试用例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}cout << t.IsAVLTree() << endl;
}

5.AVL树的性能分析

public:void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Size(){return _Size(_root);}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Size(Node* root){if (root == nullptr) return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}

void TestAVLTree2()
{const int N = 1000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}size_t begin1 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end1 = clock();cout << "Insert:" << end1 - begin1 << endl;cout << t.IsAVLTree() << endl;cout << t.Height() << endl;cout << t.Size() << endl;size_t begin2 = clock();//查找确定在的值 /*for (auto e : v){t.Find(e);}*///查找随机值for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}size_t end2 = clock();cout << "Find:" << end2 - begin2 << endl;
}

6.AVL树的删除

删除等待更新…

3.总代码

1.AVLTree.h

#pragma once#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{	pair<k, v> _kv;  //键值对//需要parent指针，后序更新平衡因子可以看到AVLTreeNode<k, v>* _left;AVLTreeNode<k, v>* _right;AVLTreeNode<k, v>* _parent;int _bf = 0; //平衡因子AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;//using Node = AVLTreeNode<K, V>;public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//根节点为空时if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//根节点不为空时Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入新节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//4种旋转情况if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if(subLR)subLR->_parent = parent;//记录parent的父节点Node* pParent = parent->_parent; subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//当parent是根节点时if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else //当parent不是根节点时{subL->_parent = pParent;if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;}//更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;//记录parent的父节点Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//当parent是根节点时if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else //当parent不是根节点时{subR->_parent = pParent;if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if(bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//更新平衡因子if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_root);}int Size(){return _Size(_root);}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr) return 0;int leftHelght = _Height(root->_left);int rightHelght = _Height(root->_right);return max(leftHelght, rightHelght) + 1;}bool _IsAVLTree(Node* root){//空树也是AVL树if (root == nullptr) return true;//计算当前节点的平衡因子：即高度差int leftHelght = _Height(root->_left);int rightHelght = _Height(root->_right);int bf = rightHelght - leftHelght;//如果计算出来的平衡因子的绝对值大于1，则一定不是AVL树if (abs(bf) > 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}//如果计算出来的平衡因子与root的平衡因子不相等时，则一定不是AVL树if (bf != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}//只有左右子树都是AVL树时：该树一定是AVL树return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}int _Size(Node* root){if (root == nullptr) return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}private:Node* _root = nullptr;
};

2.Test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include<vector>#include"AVLTree.h"void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;//常规的测试用例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//特殊的带有双旋场景的测试用例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.IsAVLTree() << endl;
}void TestAVLTree2()
{const int N = 1000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}size_t begin1 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end1 = clock();cout << "Insert:" << end1 - begin1 << endl;cout << t.IsAVLTree() << endl;cout << t.Height() << endl;cout << t.Size() << endl;size_t begin2 = clock();//查找确定在的值 /*for (auto e : v){t.Find(e);}*///查找随机值for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}size_t end2 = clock();cout << "Find:" << end2 - begin2 << endl;
}int main()
{//TestAVLTree1();//TestAVLTree2();return 0;
}