3blue1brow线代笔记

向量

物理：空间中的箭头，长度和方向决定一个向量。只要两者相同，可以任意移动保持不变
计算机：有序的数字列表 （数组）
数学：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘有意义

加法：把每个向量看成一种运动。各个轴上独立的移动步数相加。即有序列表对应项相加

向量数乘：长度缩放

线性组合，张成空间与基

向量是基向量的缩放并相加
因此用数字描述向量时都取决于正在使用的基

线性组合：两个数乘向量的和称为两个向量的线性组合

线性：如果固定一个标量，自由滑动另一个标量，所产生的向量终点是一条直线

向量空间：所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合。即仅通过数乘和加法能得到的向量

线性相关：其中一个向量，可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已落在其他向量张成的空间中。（如两个共线向量，或第三个向量在另两个向量的平面中）

线性无关：所有向量都给张成空间增加了新的维度

空间一组基的定义：张成该空间的一个线性无关向量的集合

线性变换

线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数
直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲，且原点必须保持固定。即保持网格线平行且等距分布的变换

将变换后i帽和j帽的坐标作为一个矩阵的列，并且将两列分别与x和y相乘后加和的结果定义为矩阵向量乘积。也就是向量是基向量的缩放并相加

矩阵代表一个特定的线性变换。而矩阵与向量相乘，就是将线性变换作用于那个向量。

矩阵乘法与线性变换复合

两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用。



复合矩阵即m1的i经过m2变换，j经过m2变换后的新的基坐标

矩阵相乘时，先后顺序影响结果，交换律不成立。但结合律成立

行列式

不同矩阵代表的线性变换中，有的将空间向外拉伸，有的将空间向内挤压。理解这些线性变换的关键一点就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例。

这个特殊的缩放比例，即线性变换改变面积的比例 , 被称为这个变换的行列式

两个基坐标构成的单位正方形的面积为1，可以以此推理出变换后的新基坐标构成的面积

如果一个二维线性变换的行列式为0，说明它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上。意味着这个矩阵所代表的变换就能将空间压缩到更小的维度上

行列式为负：翻转，改变了空间的定向。i原本在j右边，翻转后i在j左边。行列式的绝对值依旧表示区域面积的缩放比例

三维空间行列式是单位立方体体积的变换。即可以把行列式简单看做平行六面体的体积

如果bc刚好为0，a则说明了i在x轴的伸缩比例，d说明了j在y轴的伸缩比例

如果bc均不为0，说明了平行四边形在对角方向上拉伸或缩放了多少

逆矩阵，列空间与零空间

求解Ax=v意味着我们去寻找一个向量x，使得它在变换后与v重合

行列式不为0时，可以通过对v 进行A 的逆变换找到x 。就是等式两边同乘A逆
首先应用A代表的变换，再应用A逆代表的变换，你会回到原始状态
A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵，这个“什么都不做”的变换被称为“恒等变换”

行列式为0时，这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，你不能将一条线“解压缩”为一个平面，也不能将一个点“回溯”成一条线（至少这不是一个函数能做的），你不能进行升维

要么无解，所求向量不在线上，要么无穷解，所求向量在线上

秩（Rank）：代表着变换后空间的维数。当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1；如果变换后的向量落在某个二维平面上，我们称这个变换的秩为2。对于2×2 的矩阵，它的秩最大为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为0。

列空间：所有可能的变换结果(输出向量)的集合 被称为矩阵的“列空间
矩阵的列告诉你基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果 ;
换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。

秩的定义是列空间的维数，当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，我们称之为满秩

零向量一定在列空间中，因为线性变换必须保持原点固定。对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在远点的就是零向量自身。对于一个非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说有一系列向量在变换后成为零向量

变换后落在原点的向量的集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”。变换后的一些向量落在零向量上，而“零空间”正是这些向量所构成的空间。

对于线性方程组来说，当向量v 恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解

x2的矩阵几何意义是将二维空间映射到三维空间上。因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量，有三行表明每个基向量在变换后都用三个独立坐标来描述

i是1，j是-2.只有一维，说明变换后是落在一条直线上

点积与对偶性

点积与1x2矩阵的变换。有某种类似关系。横的1x2是矩阵变换，竖的2x1就是向量点积

叉积

向量v叉乘向量w，可以把v的坐标做为矩阵第一列，w的坐标做为矩阵第二列。求行列式。即两个向量构成的平行四边形的面积

基变换

（2，1）是左边的i坐标，（-1，1）是左边的j坐标

相当于标准坐标系下的(-1,2)应用变换到新坐标系。得到的一个新的在标准坐标系的向量

因为线性变换的一个重要特性是变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用新的基向量

几何而言，这个矩阵将我们的网格转为新的网格
从数值而言，这个矩阵将新坐标下的语言转为我们坐标系下的语言


一个矩阵的列代表新坐标系的基向量，但是用我们的坐标语言来描述。对于一个向量，这个矩阵将新坐标系语言描述转化为我们的语言描述

逆矩阵正好相反

从新坐标系语言描述的任意向量出发

用基变换转化为我们坐标系的语言描述。这个矩阵的列代表用我们的语言描述她的基向量。此时得到的是我们坐标系描述的向量

在应用上我们坐标系语言描述的变换矩阵。逆时针旋转90度。最后的结果是我们坐标系描述的向量

最后乘逆矩阵，得到用新坐标系语言描述的变换后的向量

这三个矩阵的复合就是用新坐标系描述的线性变换矩阵。上述复合矩阵就是在新坐标系中描述向量逆时针旋转90度的矩阵

中间的矩阵代表你所见的变换，外侧两个矩阵代表转移作用，即视角上的转化。
矩阵乘积代表的仍是同一个变换，只不过是从其他人的角度描述