群论学习笔记

什么是对称？

对称是一个保持对象结构不变的变换，对称是一个过程，而不是一个具体的事物，伽罗瓦的对称是对方程根的置换，而一个置换就是对一系列事物的重排方式，严格的说，它也并不是这个重排本身，而是你实施重排时遵循的规则，不是菜，而是菜谱。

在对称的定义中，有三个关键词"变换" transformation, “结构”structure, 以及"保持“preserve.以等边三角形为例来解释，根据定义，等边三角形的三条边长度相等，三个角大小相等，都是60度，这样的特征让人很难把它的三条边区别开来，“最长的边"这种说法毫无意义，三个角也无法区分，这种无法区分各边或各角的情况正是由等边三角形所具有的对称造成的，事实上，正式这种“无法区分”定义了对称。

变换：我们可以对一个三角形进行一些操作，原则上来说，我们可以做的有很多：把它弯曲，旋转（或翻转）一定的角度，折皱，像皮筋一样拉伸，涂上颜色，但我们的选择范围被第二个词限制住了。

结构：我们这个三角形的结构是由被认为非常重要的数学特征组成的，三角形的结构包括诸如“它有三条边”，“三条边是直的”，“每条边的长度是10厘米”“它位于当前这个平面内”，等内容，在其他数学分支中，重要的特征可能会有所不同，比如在拓扑学中，唯一重要的就是三角形构成了一个简单封闭曲线，至于它有三个转角，它的边是直的这些特征就不再重要了。

保持：变换后对象的结构必须与原来的一致，变换后的三角形必须同样有三条边，所以弄皱是不行的，边必须是直的，所以弯曲也不可以，每条边的长度必须还是10厘米，所以拉伸也是禁止的，位置要保持在原地，所以挪动位置也是不允许的。

颜色不是我们要考虑的结构，所以像魔方那样不同的颜色状态，我们认为是保持对称的变换。包括教材中用于演示操作的标记，数字等等，这些标记仅仅作为标记使用，并不属于需要保持的结构，如果不看这些标记，旋转（翻转）后的三角形看起来就和原来完全一样。

对于一个对称图形构成的群来说，它的元素是图形所有的对称状态，比如对于正三角形，它有两种操作(沿垂直方向翻转和旋转90度，或者理解为沿着三个角的对称轴翻转的三种操作和旋转120，240度，0度）对应六种对称状态，所以群的阶就是6.对于圆这种完美的对称图形，它的对称轴有无穷多个，无论翻转和旋转任意角度都是对称的，所以群的阶为无穷大。）

群定义

满足四条群公里的集合叫做群，设集合为G，其中任意元素a,b,c.

1.封闭性，a*b属于G。

2.结合律，(a*b)*c = a*(b*c).

3.存在单位元,G中存在一个元素e,使得a*e=e*a=a. e是唯一的。

4.存在逆元，对于每个G中a，存在一个G中的逆元x，使得a*x=x*a=e.x是唯一的。

记号*代表一种预先定义的运算，这种运算叫做“乘法”, 它是一种定义宽泛的操作，似乎所有操作都可以满足，a*b表示先做b操作再做a操作，这种从右到左的计算方式是为了和复合函数f*g(x) = f(g(x))的写法习惯保持一致。

对称群：

对称群包含对某一几何对象的所有对称操作，例如旋转和反射（翻转），对陈群在计算机图形学和密码学中有重要作用。

正六面体转动群_百度百科

对称群的阶（也就是保持几何对象对称的操作个数）依赖于几何对象的结构本身。比如对于立方体来说，其对称操作很少，阶仅仅是24，但是如果将其切为三阶魔方，则其对称操作立刻膨胀到一个极大的数字。

一个给定集合的所有置换构成的群叫做对称群，通常记为，一个具有N个元素的集合，由它的所有置换构成的对称群的元素的个数自然就是N的阶乘个。任何有限群都可以看成是对称群的子群。

正二面体群示意图，画成凯莱图如下:

包括的操作: 1.顺时针旋转90度.2.沿着F东北-西南方向翻转180度

 1.顺时针旋转90度.2.沿着F中线左右方向翻转180度

上下两图内部箭头相反是下面的箭头表示逆元操作，这个也叫做D4群。

S3全置换群

思考后，感觉下面这幅凯莱图才是对的：

2024/12/17纠正：上面的是错误理解，最开始的是对的，比如，上面的图，内部是陪群，同样的翻转操作，在内部和外部是相反的。矛盾。

从下图可以明显看出来{e, r, r^2} 和{e, f}构成了两个子群，因为把他们的凯莱表抽出来，也构成一个群，两个子群的阶分别是3和2，也是父群的因子，符合拉格朗日定理。

S3有四个非平凡子群，它们包括:

以第四个为例，

子群

子群

子群

子群

S3的轨道图如下，每个轨道表示一个周期变化的子群，这些子群共享单位元操作e.

一维空间只有平移操作，二维空间可以定义一个翻转，如上面的三角形。

S3构成对称的操作抽象出来如下图右侧, 有相关性的操作也是独立的对称操作。

运算从右向左进行，也就是从左向右看，先做第二个操作，在做第一个操作：

凯莱图怎么看？

根据上面S3的凯莱图来看，每个运算结果为首先执行单元所在的列对应的运算，然后再做单元所在的行的运算。以rf为例，表示先做列表示的f操作，在做行表示的r操作。

 

表示做两次R在做F，等于做一次F后在做一次R。根据凯莱表可以看出，这个公式是对的。

群举例

要把群的元素和群的操作分开，以模仿群为例，模仿群一共有19种转动操作，分别是六个面的

1.转动90度

2.转动180度

3.转动270度

六个面一共3x6 = 18种操作，再加上什么都不做的恒等变换，一共19种操作。更深入分析，每个面的三个操作实际上是一个操作的不断重演生成的，这个操作就是“旋转90度”。

而三阶魔方群的阶也就是三阶魔方群元素的数量，则有43,252,003,274,489,856,000个之多。

而操作也可以构成一个群，用e表示什么都不动，r表示旋转90度，则操作构成一个三阶置换群：

S2置换群

整数加法群，操作是加法，集合是全体整数

1.封闭性：a,b是整数，则a+b是整数.

2.结合性：a,b,c是整数，则(a+b)+c = a + (b + c)

3.单位元为0,a是整数，0属于整数，a+0 = 0 + a = a.作后用a不变。

4.消去公里（逆元公理）对于任何整数a,存在-a属于整数，且a+(-a) = 0结果为单位元，所以任何一个整数都存在一个逆。满足群公理。

所以全体整数和加法操作，组成一个群。

整数除以5的余数构成的集合，二元运算是集合内的元素首先加再除以5取余数,

8除以5余3，-8除以5余2，余数集合为{0,1,2,3,4}.

1.封闭性：a,b是集合元素，则 (a+b)/5 还是属于集合。

2.结合性：比如2，3，4. (2 op 3) op 4 = 0 op 4 = 4 = 2 op (3 op 4) = 2 op 2 = 4.

3.单位元是0，a是集合元素，a op 0 = a.

4.消去公里（逆元公理）, (0 + 0)%5 = 0, (1+0)%5 = 1, (2+0)%5 = 2, (3+0)%5 = 3, (4 + 0) % 5 = 4.

整数在乘法下不构成群，理由如下：

因为对于乘法来说，只能用1作为单位元，而一个整数n的倒数1/n是逆元，而1/n不是整数。同时0也不存在逆元0*X = 1? 这样的X不存在 。群公里三和四都不满足。所以整数在乘法下不构成群。

正整数和0在加法操作下不够成群，因为除了0，任何其他元素都没有逆元。

除0之外的所有的有理数在乘法下构成群。

1.显然成立。

2.显然成立。

3.存在单位元1，任何分数和单位元乘法均为原数。

4.存在逆元，即原数的倒数，倒数也是有理数。

之所以除了0之外的有理数才是群，是因为0首先是有理数，其次，0不存在逆元，0没有倒数，乘以任何数都是0，所以不存在逆元，虽然满足1，2，3，但是不满足4.

如何涉及到乘法的群，要小心0的反例。

所有有理数（包含0）的加法构成群。

1.显然成立。

2.显然成立。

3.存在单位元0，任何有理数+0都是原数。

4.存在逆元，即原有理数的负数。单位元0的逆元是它本身。

群的逆元和单位元都是唯一的。

拉格朗日定理：子群阶数一定是群阶数的约数吗?_百度知道

八阶二面体群

证明循环群一定是阿贝尔群？（交换群）

令生成元为a，循环群中任意两个元素可表示为a的幂,我们有：

所以循环群一定是阿贝尔群

如何衡量对称性？根据什么说一个图形比另一个图形更对称? 对称操作的个数？也就是群的阶？

方程“不知道”你如何排列它的根，所以把这些根排列成什么样都不应该有什么重大的影响。

修正凯莱图的运算先后顺序，先右后左，得到新的8阶2面体群。

数学女孩-伽罗瓦理论读书笔记

以下五个操作一次执行，得到什么结果? 计算过程如下图所示，和书中一致。

如果去掉“扑通向下”没有意义的作用（相当于单位元），则构成更加紧凑的变换形式：

长方形四阶群,两个操作四种对称状态，fr也可以看成是正方形的旋转180度对称，和两次翻转等价。

长方形对称群，棱形对称群都是克莱四元群，它是最小的非循环群，和两二阶循环群做直积同构：

和长方形四阶群同构的是两个电灯开关群，通过这个群可以看出，群的元素是操作的组合，但是是否所有组合的状态都是群的元素，需要对比组合后的对象状态是否一样，如果两个不同的操作组合得到的是一个状态，则这两个操作序列只能任选一个作为群元素。具体的说，如果一个操作不影响原来图形在空间中的位置，但是改变了标记的序号（比如S3中的1，2，3），但仍能保证物理占据原来的空间，这样的操作才是群中元素，否则，如果空间不便，序号也不变，那就是没有操作的e.总而言之，群中的操作是那些保持位置不变，而记号改变的所有的操作的集合。

长方形四阶群是上图八阶二面体群的一个子群，对比F的状态，我们可以抽取和长方形四阶群对应的八阶二面体群的对应状态为：

在八阶二面体群子群中，其凯莱表为：

r作用其左陪集为：

f作用其左陪集为：

r^2作用，其左陪集为其本身：

r^3作用，其左陪集为：

rf作用，其左陪集为：

r^2f作用，其左陪集为：

r^3f作用，其左陪集为：

r作用其右陪集为：

f作用其右陪集为：

r^2作用，其右陪集为其本身：

r^3作用，其右陪集为：

rf作用，其右陪集为：

r^2f作用，其右陪集为：

r^3f作用，其右陪集为：

看上去左陪集等于右陪集，八阶二面体群是正规子群？

八阶二面体群的状态转换图，左右两幅图是等价的：

以右图为例，如果将进行f操作，则所有状态都将进入其中同一个陪集。如果都进行r操作，也是同样的进入同一个陪集。如果都进行r^2相当于交换位置，还是原来的子群。从这幅图上可以体会群，子群，陪集的几何意义。八阶二面体群就是D4群。

阿贝尔群的可视化方法

循环群一定是阿贝尔群，因为只对应一个生成元操作，同一个操作无论进行多少次都是可以拆分交换的。所以素数阶群一定是循环群，也一定是阿贝尔群。

群运算可交换性决定了在阿贝尔群的凯莱图中，从同一结点出发的每对箭头都应该形成一个闭合的“菱形”。是不是标准的菱形并不重要，重要的是连接的模式。如下图所示，在阿贝尔群的凯莱图中不会出现左边这种模式，永远都是右边这种模式。

按照这个规则，S3是非阿贝尔群，D4也是非阿贝尔群, 克莱因四元群是阿贝尔群。

---

资源

https://www.ism.ac.jp/~fukumizu/MLSS2024_OIST_fukumizu.pdf

百度安全验证

群论系列(一)：群论简介 | Blog de Hqak (WXYHLY)

有限单群：一段百年征程 | fwjmath的相空间

群论基础速成（6）：五大著名群族_群论的可视化方法 pan-CSDN博客

https://zhuanlan.zhihu.com/p/677555329

https://v.youku.com/v_show/id_XMTUwMzc0MzMzNg==.html?spm=a2hzp.8244740.userfeed.5!3~5~5~5!3~5~A

https://www.zhihu.com/question/387860666/answer/3572206393

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%BE%A4

奥数平移知识点总结

群论学习网站：

​伽罗瓦理论究竟想干什么？

Group Explorer Library

---

结束