实数的奥秘：柯西序列深度解析

实数，是初中学到的概念，我知都知道它是有理数和无理数的统称。

然而，实数可不只是小数点后的一堆零碎儿，它背后还有着高深莫测理论。

一、柯西序列的概念与性质

柯西序列（Cauchy sequence）是这样一个序列：随你任意给出一个正有理数ε，无论多小都行。总能在序列中找到这么一项，在这项之后任意两个元素，其差的绝对值都小于ε。
最简单的柯西序列就是常数序列，比如{3, 3 , 3, …}，其所有元素的差值都为0，绝对小于任何的正有理数。
但是，这种小儿科的玩艺不是柯西序列的真正用武之地，它主要用于序列元素不同的情况。这时候柯西序列就会表现出一个特别的性质：随着序列项数的增加，元素间的差值越来越小。
如果把这种柯西序列中的元素看成数轴上的一系列点，那么越往右，这些点越密集（点与点间的距离越小）。但无论怎样密集，它们都位于某一个点的左侧。
如果把序列项数n做为横坐标，把序列元素的值$X_n作为纵坐标，则柯西序列就是下图中的一些点：

现在，相信你已经明白柯西序列是个什么东东了。这时候，咱们再用一种高大上的方法表示一下这玩艺。
数学定义：
设序列 { x n } ⊂ X \{x_n\}\subset X {xn​}⊂X，若 { x n } \{x_n\} {xn​}满足：当$m,n\to \infty$时，有$d(x_m,x_n)\to 0$，则称 { x n } \{x_n\} {xn​}是$X$的柯西序列。

$d(x_m,x_n)$表示序列中的元素$x_m$与$x_n$的差的绝对值。

现在是不是看着也挺好理解的？这就是数学公式的特点。如果上来就摆公式，肯定头大，但是如果先理解了再去看，这玩艺就是纸老虎。
再看看它的性质：若序列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，则 { x n } \{x_n\} {xn​}是柯西序列。
证明：
若序列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，则说明其有极限。
设${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$，则当$m,n\to \infty$时，有$d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x_n,x)\to 0$，故 { x n } \{x_n\} {xn​}是柯西序列。
这个貌似也挺好理解的吧？

二、柯西序列定义无理数

举个最简单的元素不同的柯西序列例子，咱们都背过$\pi$，假设有这么一个数列 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，也就是每个元素都在上一个元素的基础上增加1位小数。显然，越往后序列中元素的差值就越小。因为这个数是无限的，其差值无限趋近于0，而序列中的元素无限趋近于$\pi$。
无限趋近于，这说的不就是极限吗？
表现在数轴上，它们就是一些越往右越集中的点，且这些点都位于$\pi$的左侧，无限地接近$\pi$这个点。
见证奇迹的时刻到了！尽管这个序列中的所有项都是有理数，但它们却可以收敛到一个无理数。柯西序列展示出了有理数与无理数之间的联系：无理数是有理数构成的柯西序列的极限。
如果把某个无理数（比如$\pi$）看成空间中的一点，那么柯西序列就像射向这个点的一串子弹。只不过，这些子弹只能无限地接近于目标点，却永远别想打到它。

目标神秘人物：小子，别想打到我!
有理君：神了，我去！近在咫尺，咋就打不到呢？
目标神秘人物：因为我有不讲“理”的防护罩，而你的子弹讲“理”。

也就是说，这个有理数虽然无限地逼近无理数，但只要还在有理数的范围内，这就永远没有极限。

要想到达这个极限，必须突破有理数的范围。
突破有理数的条件就是有理数子弹是无穷无尽的，量变引起质变，就会达到极限，这个极限就是无理数。
这样，无理数就有了新的定义：有理数柯西序列的极限（序列元素不同）。

三、柯西序列定义实数系统

有了柯西序列的加持，我们可以给实数重新下个统一性的定义。
为什么要重新下个定义呢？因为“有理数和无理数的统称”这个定义没有揭示实数的实质。这种定义方法就好像把人定义为“男人和女人的统称”一样。
将人定义为男人和女人的统称虽然也没什么问题，但没有指出人和其他动物的区别。同样的道理，将实数定义为有理数和无理数的统称，也没说出实数与其他数的区别。
这个统一性的定义，官方有一个非常绕舌的学术表述：实数为所有收敛到同一极限的有理数序列的等价类。
这个定义可能比较严谨，但是不容易理解。尤其里面搞出个新名词：等价类。如果想了解这是什么玩艺，老金在文章最后会给出解释。
老金认为可以这样简单理解：实数是有理数柯西序列的极限。
一共不就这么两种情况嘛：
①有理数：柯西序列是个常数序列，就像{3, 3 , 3, …}，这时候它的极限就是有理数。
②无理数：柯西序列中的元素值是不同的，就像{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，这时候它的极限就是无理数。
就这么简单。
然而，这个定义丧失了“有理数和无理数的统称”的肤浅，有着深刻的意义：将有理数作为载体，以柯西序列为桥梁，用有理数表示无理数、实数，揭示出有理数、无理数、实数的联系。
最重要的，它还揭示了实物的根本性质：完备性。
所谓的完备性用一句话来形容就是“所有的……都……”。用柯西序列定义实数，实数的完备性就体现出来了：所有柯西序列都有极限。实数的完备性表现在数轴上，是我们学校里都学过的，就是所有的实数在数轴上都有对应的点、所有数轴上的点都对应一个实数。
附：“等价类”的解释
最后说说前面官方定义中的“等价类”是个啥。这玩艺其实说的是同一个极限可能对应多个不同的柯西序列，而因为它们的极限相同，这些不同的柯西序列其实是等价的。
还是拿$\pi$举例子，它可以有多个柯西序列表示，除了前面说的{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，还可以表示为：
{9257, 9257, 9257, 9257, 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}
{5566, 9257, 5566, 9257, 3.2, 3.14, 3.141, 3.1415, …}
相信你已看明白老金想表达的意思，这样的柯西序列可以列出无数个，但它们的极限都是$\pi$，因而都是等价的，这就是等价类的含义。
也就是说，如果存在多个柯西序列收敛到同一个极限，则将它们视为同一个实数。
但老金觉得这玩艺就是“严谨的复杂”，了不了解无伤大雅，所以才以附注的形式放在最后。谁还不明白这个意思呢？说白了就是这么点勾当：柯西序列的极限只跟最右侧的密集区有关，跟左侧那些元素的值根本没有任何关系。左边那些东东就是在那里摆造型，就像秃头上剩下的几根毛，聊胜于无。