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高等数学学习笔记 ☞ 一元函数微分的基础知识

news 2026/1/1 18:58:57

1. 微分的定义

（1）定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某领域内有定义，取 $x_{0}$ 附近的点 $x_{0}+\Delta x$ ，对应的函数值分别为 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ，

令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，若 $\Delta y$ 可以表示成 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 是可微的。

【 $\Rightarrow$ 若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 是可微的，则 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ 可以表达为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 】

称 $A\Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处，改变量 $\Delta y$ 的微分。记作：可微： $dy=A\Delta x$ ；微分： $dy|_{x=x_{0}}=A\Delta x$ 。

备注：

①：通过绘图理解： $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的量，但与 $x_{0}$ 有关， $A$ 就是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的导数，即 ${f}'(x_{0})$ 。

②：通过绘图理解：根据 $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ 可知，当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时， $dy\rightarrow \Delta y$ ，则有 $dy \approx\Delta y$ 。

③：函数的微分 $dy$ 是函数的增量 $\Delta y$ 主要部分，且是 $\Delta x$ 的线性函数，故称函数的微分 $dy$ 是函数的增量 $\Delta y$ 的线性主部。

④：通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 $dx$ ，即 $dx=\Delta x$ 。

⑤：对于一元函数而言：可导即可微，可微即可导。

⑥：一元函数求微分的表达式： $dy = {f}'(x)dx$ 。 $\Rightarrow$ 想求微分，先求导，然后左右两边同乘 $dx$ 。

（2）几何意义：通过绘图理解：函数的微分 $dy$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的切线对应于 $\Delta x$ 在纵坐标上的增量。

备注： $\Delta y$ ：属于精确值； $dy$ ：属于 $\Delta y$ 的近似值。即： $dy \approx\Delta y$ 。

（3）实际应用：

①：根据 $\Delta y \approx dy={f}'(x_{0})\Delta x$ ，即： $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx {f}'(x_{0})\Delta x$ 可得： $f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+{f}'(x_{0})\Delta x$ ，

$\Rightarrow$ 可以把线性函数的数值计算结果作为原本函数的数值的近似值( $\Delta x$ 的值选取要尽可能的小)。

②：根据 $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ 可知，当 $|\Delta x|$ 比较小时， $|\Delta y-dy|$ 比 $|\Delta x|$ 要小的多(高阶无穷小)，因此函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 附近可以

用切线来近似代替曲线段。它的直接应用就是函数的线性化。

$\Rightarrow$ 当 $|\Delta x|$ 比较小时，则有： $sinx\approx x$ ， $tanx\approx x$ ， $e^{x} \approx 1+x$ ， $ln(1+x)\approx x$ ， $(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ 。