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高等数学学习笔记 ☞ 不定积分的积分法

news 2025/12/30 5:17:08

1. 第一换元积分法

1. 基础概念：形如 $\int f[\phi (x)]{\phi }'(x)dx=\int f[\phi (x)]d\phi (x)\overset{\phi (x)=u}{\rightarrow}\int f(u)du$ 的过程，称为第一换元积分法。

2. 核心思想：通过对被积函数的观察(把被积函数的形式与积分表的积分公式进行比较)，把 $d$ 外部的部分项拿到 $d$ 的内部(求原函数)，

然后进行拼凑，把拼凑的部分看成一个整体，最后利用积分表里的积分公式求解不定积分。

3. 举例说明：

（1）求解 $\int 2xe^{x^{2}}dx$ 的不定积分：

$\int 2xe^{x^{2}}dx = \int e^{x^{2}}2xdx =\int e^{x^{2}}dx^{2}=e^{x^{2}}+C$

（2）求解 $\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx(a\neq 0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a^{2}}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}d\frac{x}{a}=\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a}+C$

（3）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}(1-(\frac{x}{a})^{2})}}dx=\int \frac{1}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}dx=$ $\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}d\frac{x}{a}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

（4）求解 $\int \tan xdx$ 与 $\int \cot xdx$ 的不定积分：(三角函数的奇数次处理方法)

$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d\cos x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin x}d\sin x=\ln |\sin x|+C$

（5）求解 $\int \cos^{2}xdx$ 的不定积分：(三角函数的偶数次处理方法)

$\int \cos^{2}xdx=\int \frac{\cos 2x +1}{2}dx=\int (\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{2})dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

（6）求解 $\int \csc xdx$ 的不定积分：

$\int \csc xdx=\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=\int \frac{1}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}*\cos^{2}\frac{x}{2}}d\frac{x}{2}=$

$\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}*\sec^{2} \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\tan \frac{x}{2}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$

又知： $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x$

所以： $\int \csc xdx=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C = \ln |\csc x-\cot x|+C$

（7）求解 $\int \sec xdx$ 的不定积分：

$\int \sec xdx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{1}{\sin (x+\frac{\pi}{2})}d(x+\frac{\pi}{2})=\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})$

又知： $\int \csc xdx= \ln |\csc x-\cot x|+C$

所以： $\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})=\ln |\csc (x+\frac{\pi}{2})-\cot (x+\frac{\pi}{2})|+C$

即： $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

2. 第二换元积分法

1. 基本概念：形如 $\int f(u)du \overset{u=\phi (x)}{\rightarrow} =\int f[\phi (x)]d\phi (x) =\int f[\phi (x)]{\phi }'(x)dx$ 的过程，称为第二换元积分法。

说明：引入的 $u=\phi (x)$ ，必须是单调的(用到了它的反函数)、可导的(用到了它的导函数) 且 ${\phi}' (x)\neq 0$ (避免把原被积函数变为0)。

2. 核心思想：通过对被积函数的观察选择相应的替换函数(基本都有规律)，然后将 $d$ 的内部求导拿到 $d$ 的外部(求导函数)，从而将原被积

函数的积分转化为简单函数的积分，最终求解出不定积分。

3. 举例说明：

（1）求解 $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [-a,a]$ 。

②：进行替换，令 $x=a\sin t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ，则有

$x\in (-a,a)$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\sin t$ 求导，可得： $dx=a\cos tdt$ 。

$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}t}\; a\cos tdt=\int |a||cost|a\cos tdt$

因为 $a>0$ ，且当 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 时， $\cos t>0$ ，则：

$\int |a||cost|a\cos tdt=\int a^{2} \cos ^{2}tdt=a^{2}\int \frac{\cos 2t +1}{2}dt$ $=\frac{a^{2}}{4}\sin 2t+\frac{a^{2}}{2}t+C$

③：进行回代，根据 $x=a\sin t$ 可得： $t=\arcsin \frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

$\frac{a^{2}}{4}\sin 2t+\frac{a^{2}}{2}t+C=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin \frac{x}{2}+C$

即： $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin \frac{x}{2}+C(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $a^{2}-x^{2}$ 的式子，采用 $x=a\sin t$ 替换。

（2）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in (-\infty ,+\infty )$ 。

②：进行替换，令 $x=a\tan t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ，则有

$x\in (-\infty ,+\infty )$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\tan t$ 求导，可得： $dx=a\sec ^{2}tdt$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}\tan^{2}t+a^{2}}}a\sec^{2}tdt=\int \frac{a\sec^{2}t}{|a||\sec t|}dt$

因为 $a>0$ ，且当 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 时， $\sec t>0$ ，则：

$\int \frac{a\sec^{2}t}{|a||\sec t|}dt=\int \sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C$

③：进行回代，根据 $x=a\tan t$ 可得： $\tan t = \frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

$\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x|-\ln a+C$

根据上述三角形关系可知： $\sqrt{a^{2}+x^{2}}>x$ ，又知： $-\ln a+C=C_{1}$ ，

所以： $\ln|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x|-\ln a+C=\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C_{1}$

即： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx = \ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C_{1}(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $x^{2}+a^{2}$ 的式子，采用 $x=a\tan t$ 替换。

（3）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in (-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ 。

②：进行替换，令 $x=a\sec t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (0,\frac{\pi}{2})$ 及 $t\in (\frac{\pi}{2},\pi)$ ,

则有 $x\in (-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\sec t$ 求导，可得： $dx=a\sec t \tan tdt$ 。

对于分区间段的不定积分要分开求解。

当 $x>a$ 时，由 $\frac{x}{a}=\sec t>1$ 可知： $t\in (0,\frac{\pi}{2})$ ，则 $\tan t>0$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\int \frac{a\tan t \sec t}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2}t-a^{2}}}dt$ $=\int \frac{a\tan t \sec t}{|a||\tan t|}dt=\int \sec tdt=\ln |\sec t+ \tan t|+C$

当 $x<-a$ 时，由 $\frac{x}{a}=\sec t<-1$ 可知： $t\in (\frac{\pi}{2},\pi)$ ，则 $\tan t<0$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\int \frac{a\tan t \sec t}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2}t-a^{2}}}dt$ $=\int \frac{a\tan t \sec t}{|a||\tan t|}dt=-\int \sec tdt=-\ln |\sec t+ \tan t|+C$

③：进行回代，根据 $x=a\sec t$ 可得： $\sec t=\frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

当 $x>a$ 时：

$\ln |\sec t+ \tan t|+C=\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}|+C=\ln (\frac{x}{a}$ $+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a})+C=\ln (x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}$

当 $x<-a$ 时，

$-\ln |\sec t+ \tan t|+C=-\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}|+C=-\ln (-\frac{x}{a}$ $+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a})+C=\ln (-x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}$

即：当 $x>a$ 时， $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln (x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}(a>0)$

当 $x<-a$ 时， $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln (-x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}(a>0)$

上述进行整合可得： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $x^{2}-a^{2}$ 的式子，采用 $x=a\sec t$ 替换。

（4）求解 $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}(a\neq 0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [-a,0)\cup (0,a]$ 。

②：进行替换，令 $x=\frac{1}{t}$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in [-a,0)$ 及 $t\in (0,a]$ ，

则有 $x\in [-a,0)\cup (0,a]$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=\frac{1}{t}$ 求导，可得： $dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$ 。

对于分区间段的不定积分要分开求解。

当 $x>0$ 时，由 $x=\frac{1}{t}$ 可知： $t>0$ 。

$\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=-\int t\sqrt{a^{2}t^{2}-1}dt=-\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C$

当 $x<0$ 时，由 $x=\frac{1}{t}$ 可知： $t<0$ 。

$\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=\int t\sqrt{a^{2}t^{2}-1}dt=\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C$

③：进行回代：

当 $x>0$ 时， $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=-\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}{3a^{2}x^{3}}+C$

当 $x<0$ 时， $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}{3a^{2}(x^{2})^{\frac{3}{2}}}+C$

备注：最后一步需要注意，开偶数次根号下的内容时不要忘记正负的问题。

（5）求解 $\int e^{\sqrt{x}}dx$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [0,+\infty ]$ 。

②：进行替换，令 $\sqrt{x}=t$ ，即 $x=t^{2}$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in [0,+\infty ]$ ，

则有 $x\in [0,+\infty ]$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=t^{2}$ 求导，可得： $dx=2tdt$ 。

$\int e^{\sqrt{x}}dx=\int e^{t}2tdt=2te^{t}-2\int e^{t}dt=2te^{t}-2e^{t}+C$

③：进行回代： $\int e^{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C$

3. 分部积分法

1. 基本概念：形如 $\int udv=u\cdot v-\int vdu$ 的过程，称为分部积分法。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int x^{2}e^{x}dx$ 的不定积分：

$\int x^{2}e^{x}dx=\int x^{2}de^{x}=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$

   $=x^{2}e^{x}-2\int xde^{x}$

   $=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C$

   $=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$

小贴士：被积函数为多项式乘以三角函数或指数函数，此类型一般把三角函数或指数函数作为 $v$ 。

（2）求解 $\int x \arctan xdx$ 的不定积分：

$\int x \arctan xdx=\frac{1}{2}\int \arctan xdx^{2}=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{1+x^{2}})dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+C$

$=\frac{1}{2}(x^{2}+1)\arctan x-\frac{1}{2}x+C$

小贴士：被积函数为多项式乘以反三角函数或对数函数，此类型一般把多项式作为 $v$ 。

（3）求解 $\int e^{x}\sin xdx$ 的不定积分：

$\int e^{x}\sin xdx=\int \sin xde^{x}=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx$

$=e^{x}\sin x-\int \cos xde^{x}$

$=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x dx$

此时，等号左侧所求的式子在等号右侧重复出现了，那么进行移项处理。

整理可得： $\int e^{x}\sin xdx=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x -\cos x)+C$

小贴士：被积函数为指数函数乘以三角函数，此类型谁作为 $v$ 都行，只需要多次使用分部积分法，凑出与所求相同的部分，然后再

移项处理，结果+ $C$ 。

总结：使用分部积分法求解不定积分，不需要特殊记忆哪类函数作为 $u$ ，哪类函数作为 $v$ ，只需要明确：

拿到 $d$ 里面的某项要确保原函数容易求，留在 $d$ 外面的剩余项要确保导函数容易求，再不行就调换一下嘛。

4. 有理函数的积分

待更新

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在全球云服务器市场，各厂商的排名和地位并非一成不变，而是由其独特的优势、战略布局和市场适应性共同决定的。以下是根据2025年市场趋势，对主要云服务器厂商在排行榜中占据重要位置的原因和优势进行深度分析： 一、全球“三巨头”…...

编程新知 2025/12/27 14:55:38

CSS设置元素的宽度根据其内容自动调整

width: fit-content 是 CSS 中的一个属性值，用于设置元素的宽度根据其内容自动调整，确保宽度刚好容纳内容而不会超出。效果对比默认情况（width: auto）： 块级元素（如 <div>）会占满父容器…...

编程新知 2025/10/16 16:03:09

高等数学学习笔记 ☞ 不定积分的积分法

1. 第一换元积分法

2. 第二换元积分法

3. 分部积分法

4. 有理函数的积分

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