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積分方程與簡單的泛函分析8.具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程

news 2025/9/10 20:05:27

1)def求解具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程

设 $K(x,y)$ 是定义在 $[a,b]\times[a,b]$ 上的连续对称核函数，

非齐次第二类弗雷德霍姆积分算子方程的形式为：

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy$ ，

其中 $\varphi(x)$ 是未知函数， $f(x)$ 是给定的连续函数， $\lambda$ 是参数。

2)def其特徵值是否一致收斂

定义：

对于由连续对称核 $K(x,y)$ 生成的积分算子 $T$ ，

其特征值序列 $\{\lambda_n\}$ 若满足对于任意的 $\epsilon>0$ ，

存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得当 $n,m > N$ 时，对于所有 $x\in[a,b]$ ，

都有 $|\lambda_n - \lambda_m|<\epsilon$ ，则称特征值序列 $\{\lambda_n\}$ 一致收敛。

证明：

由希尔伯特 - 施密特定理，对于由连续对称核 $K(x,y)$ 定义的积分算子 $T$ ，

存在由特征向量 $\{\varphi_n\}$ 构成的 $L^2[a,b]$ 的标准正交基，

对应的特征值 $\{\lambda_n\}$ 满足 $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n = 0$ 。

设 $T$ 是紧自伴算子，其特征值 $\lambda_n$ 满足 $|\lambda_1|\geq|\lambda_2|\geq\cdots$ 。

对于任意 $\epsilon > 0$ ，因为 $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n = 0$ ，

存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时， $|\lambda_n|<\frac{\epsilon}{2}$ 。

那么对于 $n,m > N$ ，有 $|\lambda_n-\lambda_m|\leq|\lambda_n| + |\lambda_m|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ 。

所以特征值序列 $\{\lambda_n\}$ 一致收敛到 0。

其柯西判斷

柯西准则：对于序列 $\{\lambda_n\}$ ，

它收敛的充要条件是对于任意的 $\epsilon>0$ ，存在 $N\in\mathbb{N}$ ，

使得当 $n,m > N$ 时， $|\lambda_n - \lambda_m|<\epsilon$ 。

在特征值序列的情况下，前面已证明其满足柯西准则，所以特征值序列收敛。

3)def具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程，要麼對所有連續函數f有解，要麼齊次方程有平凡解

证明思路：

设非齐次方程 $\varphi(x)=f(x)+\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy$ ，

对应的齐次方程为 $\varphi(x)=\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy$ 。

由希尔伯特 - 施密特定理，积分算子 $T$ （ $(T\varphi)(x)=\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy$ ）是紧自伴算子，

存在标准正交基 $\{\varphi_n\}$ 和特征值 $\{\lambda_n\}$ 。

假设齐次方程仅有平凡解，即对于 $\lambda$ 不是特征值时，

齐次方程 $\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy = 0$ 只有解 $\varphi(x)=0$ 。

对于非齐次方程，将 $\varphi(x)$ 和 $f(x)$ 按特征向量展开：

$\varphi(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}a_n\varphi_n(x)$ ， $f(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}b_n\varphi_n(x)$ ，

其中 $a_n=\langle\varphi,\varphi_n\rangle$ ， $b_n=\langle f,\varphi_n\rangle$ 。

代入非齐次方程可得： $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n\varphi_n(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}b_n\varphi_n(x)+\lambda\sum_{n = 1}^{\infty}a_n\lambda_n\varphi_n(x)$ 。

比较系数得 $a_n(1 - \lambda\lambda_n)=b_n$ 。

因为 $\lambda$ 不是特征值， $1-\lambda\lambda_n\neq0$ ，所以 $a_n=\frac{b_n}{1 - \lambda\lambda_n}$ ，从而非齐次方程有解。

反之，若齐次方程有非平凡解，

即存在非零解 $\varphi(x)$ 使得 $\varphi(x)=\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)dy$ ，

那么对于某些 $f(x)$ ，非齐次方程可能无解。

例如，若 $f(x)$ 与齐次方程非平凡解的正交补空间不匹配时，非齐次方程无解。

4)计算例题

考虑积分方程 $\varphi(x)=x+\lambda\int_{0}^{1}(xy)\varphi(y)dy$ ，这里 $K(x,y)=xy$ 是连续对称核， $f(x)=x$ 。

设 $\varphi(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}a_n\varphi_n(x)$ ， $f(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}b_n\varphi_n(x)$ 。

先求积分算子 $T$ （ $(T\varphi)(x)=\int_{0}^{1}(xy)\varphi(y)dy$ ）的特征值和特征向量。

设 $\varphi(x)$ 是特征函数， $\lambda$ 是特征值，则 $\varphi(x)=\lambda\int_{0}^{1}(xy)\varphi(y)dy$ 。

设 $\varphi(x)=Ax^m$ ，代入得 $Ax^m=\lambda A\int_{0}^{1}y^{m + 1}dyx=\lambda A\frac{1}{m + 2}x$ 。

所以 $m = 1$ ， $\varphi(x)=Ax$ ， $A=\lambda A\frac{1}{3}$ ，解得特征值 $\lambda_1 = 3$ ，特征向量 $\varphi_1(x)=x$ 。

将 $\varphi(x)=a_1x$ ， $f(x)=x$ 代入原非齐次方程：

$a_1x=x+\lambda a_1\int_{0}^{1}(xy)ydy$ 。

计算 $\int_{0}^{1}(xy)ydy=\frac{1}{3}x$ ，则 $a_1x=x+\frac{1}{3}\lambda a_1x$ 。

整理得 $a_1(1-\frac{1}{3}\lambda)=1$ ，

当 $\lambda\neq3$ 时， $a_1=\frac{1}{1-\frac{1}{3}\lambda}$ ，

所以 $\varphi(x)=\frac{1}{1 - \frac{1}{3}\lambda}x$ 是方程的解。

当 $\lambda = 3$ 时，齐次方程 $\varphi(x)=3\int_{0}^{1}(xy)\varphi(y)dy$ 有非平凡解 $\varphi(x)=x$ ，

此时原非齐次方程对于 $f(x)=x$ 无解（因为代入后会出现矛盾）。

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