積分方程與簡單的泛函分析8.具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程

1)def求解具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程

设 是定义在上的连续对称核函数，

非齐次第二类弗雷德霍姆积分算子方程的形式为：

，

其中是未知函数，是给定的连续函数，是参数。

2)def其特徵值是否一致收斂

定义：

对于由连续对称核生成的积分算子，

其特征值序列若满足对于任意的，

存在，使得当时，对于所有，

都有，则称特征值序列一致收敛。

证明：

由希尔伯特 - 施密特定理，对于由连续对称核定义的积分算子，

存在由特征向量 构成的的标准正交基，

对应的特征值满足 。

设是紧自伴算子，其特征值满足。

对于任意，因为，

存在，使得当时，。

那么对于，有 。

所以特征值序列一致收敛到 0。

其柯西判斷

柯西准则：对于序列，

它收敛的充要条件是对于任意的，存在，

使得当时，。

在特征值序列的情况下，前面已证明其满足柯西准则，所以特征值序列收敛。

3)def具連續對稱核的非齊次第II類弗雷德霍姆積分算子方程，要麼對所有連續函數f有解，要麼齊次方程有平凡解

证明思路：

设非齐次方程，

对应的齐次方程为。

由希尔伯特 - 施密特定理，积分算子（）是紧自伴算子，

存在标准正交基和特征值。

假设齐次方程仅有平凡解，即对于不是特征值时，

齐次方程只有解。

对于非齐次方程，将 和按特征向量展开：

，，

其中，。

代入非齐次方程可得：。

比较系数得。

因为 不是特征值，，所以，从而非齐次方程有解。

反之，若齐次方程有非平凡解，

即存在非零解使得 ，

那么对于某些，非齐次方程可能无解。

例如，若与齐次方程非平凡解的正交补空间不匹配时，非齐次方程无解。

4)计算例题

考虑积分方程，这里 是连续对称核，。

设，。

先求积分算子 （）的特征值和特征向量。

设是特征函数，是特征值，则 。

设，代入得。

所以，，，解得特征值，特征向量 。

将，代入原非齐次方程：

。

计算 ，则 。

整理得，

当 时，，

所以是方程的解。

当 时，齐次方程有非平凡解，

此时原非齐次方程对于 无解（因为代入后会出现矛盾）。