積分方程與簡單的泛函分析7.希爾伯特-施密特定理

1)def函數叫作"由核生成的（有源的）"

定义：

设 是定义在区域上的核函数。

对于函数，若存在函数使得，

则称函数是“由核生成的（有源的）”。

这里的直观理解是：

函数的“来源”可以通过核函数 与另一个函数的积分运算得到。

在积分方程理论中，这种表述常用于描述解函数与核函数之间的关系，

即解函数可以看作是由核函数通过对某个“源函数” 进行积分操作生成的。

2)def希爾伯特-施密特定理(Hilbert - Schmidt Theorem)

定理内容：

设 H 是可分希尔伯特空间，T 是 H 上的紧自伴算子。则存在由 T 的特征向量构成的 H 的标准正交基 ，且对应的特征值 满足。

证明过程：

步骤 1：特征值与特征向量的存在性

因为 是自伴算子，对于任意，。

设和。

由于是紧算子，且单位球面是有界闭集（在