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積分方程與簡單的泛函分析7.希爾伯特-施密特定理

news 文章来源：https://blog.csdn.net/weixin_46616813/article/details/145345606 2025/5/5 22:39:36

1)def函數叫作"由核生成的（有源的）"

定义：

设 $K(x,y)$ 是定义在区域 $[a,b]\times[a,b]$ 上的核函数。

对于函数 $f(x)$ ，若存在函数 $g(y)$ 使得 $f(x)=\int_{a}^{b}K(x,y)g(y)dy$ ，

则称函数 $f(x)$ 是“由核 $K(x,y)$ 生成的（有源的）”。

这里的直观理解是：

函数 $f(x)$ 的“来源”可以通过核函数 $K(x,y)$ 与另一个函数 $g(y)$ 的积分运算得到。

在积分方程理论中，这种表述常用于描述解函数与核函数之间的关系，

即解函数可以看作是由核函数通过对某个“源函数” $g(y)$ 进行积分操作生成的。

2)def希爾伯特-施密特定理(Hilbert - Schmidt Theorem)

定理内容：

设 H 是可分希尔伯特空间，T 是 H 上的紧自伴算子。则存在由 T 的特征向量构成的 H 的标准正交基 $\{e_n\}$ ，且对应的特征值 $\{\lambda_n\}$ 满足 $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n = 0$ 。

证明过程：

步骤 1：特征值与特征向量的存在性

因为 $T$ 是自伴算子，对于任意 $x\in H$ ， $\langle Tx,x\rangle\in\mathbb{R}$ 。

设 $M=\sup_{\|x\| = 1}\langle Tx,x\rangle$ 和 $m=\inf_{\|x\| = 1}\langle Tx,x\rangle$ 。

由于 $T$ 是紧算子，且单位球面 $S=\{x\in H:\|x\| = 1\}$ 是有界闭集（在

積分方程與簡單的泛函分析7.希爾伯特-施密特定理

1)def函數叫作"由核生成的（有源的）" 定义：设是定义在区域上的核函数。对于函数，若存在函数使得，则称函数是“由核生成的（有源的）”。这里的直观理解是：函数的“来源”可以通过核函数与另一个函数的积分运算得到。在积分方程理论中，这种表述常…...

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