音频进阶学习十一——离散傅里叶级数DFS

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前言

按照傅里叶发展的历史，最先出现的傅里叶公式是傅里叶级数，只不过由于通用性以及核心理论先介绍了DTFT，它描述的是一个连续的频谱，描述了信号在整个频率范围内的频率成分。

对于本章内容离散傅里叶级数DFS，它描述的是离散的频谱，频率成分在周期上重复，本文将深入解析DFS的公式，并对IDFS进行推导，最后会对DFS的性质结合图像进行介绍。

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一、傅里叶级数

1.定义

傅里叶级数简称为FS，是由法国数学家傅里叶为了进行热解析提出来的——周期信号表示为不同频率的正弦和余弦波的和。它能够将一个复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，从而实现信号的频域分析。

2.周期信号序列

离散周期序列指的是时间域上以固定周期重复出现的离散信号，使用$\tilde{x}[n]$表示，即：
$$\tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+rT],r\in Z$$
如下图，$T=10$的周期序列

3.表达式

DFS

$$\tilde{X}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$$

IDFS

$$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k]$$

参数含义

• ~:表示为周期序列
• $\tilde{X}[k]$: 是信号在频域中的分量（傅里叶系数）
• $\tilde{x}[n]$:是时间域中的周期离散信号
• $N$:是序列周期
• $k$:表示频率索引
• $e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}$:复指数，表示信号的频率分量

4.DFS公式解析

1）右边解析

和上一篇解析DTFT一样，我们先解析DFS右边，在此之前，如果对于复指数序列和正交不太理解的同学，还是需要先看音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT这篇文章，里面有对于为什么需要把序列转换成复指数序列的详细解释。
$$\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$$

$T$、$f$、$\omega$的关系

我们来梳理一下周期、频率和角频率的关系

• 频率：指的是某个周期性事件在单位时间内发生的次数，$f=\frac{1}{T}$
• 周期：是一个周期性信号或事件完成一次完整波动所需的时间，$T=\frac{1}{f}$
• 角频率：表示波动或振动的“速率”，即信号的变化速度，$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$

求和公式N的释义

上文中提到$N$是序列周期，并且根据DFS公式也很容易看出来，对于序列的求和范围$n\in [N-1]$，也就是序列的长度为$N$。

从$T$、$f$、$\omega$的关系，我们得到$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{N}$，也就是该周期序列的基波（一个波形的最低频率，是波形的基本振动频率）为$\frac{2\pi }{N}$。

求和公式K的释义

对于DFS来说，一个周期序列分解为不同频率的正弦和余弦波的和，从上文中$N$的作用我们首先得到了基波的频率，那么其他频率怎么来表示呢？ 我们知道对于谐波是基频的整数倍频率，例如2倍频（第二谐波）、3倍频（第三谐波）等，而谐波和基波组成了周期序列。

对于$k$代表了频率索引，即：
$$\frac{2\pi }{N}k，k\in [0,1,2,....,N-1]$$

• 当$k=0$时，表示的是直波
• 当$k=1$时，表示的是基波（第一谐波）
• 当$k=2$时，表示的是第二谐波
• 当$k=N/2$时，对应奈奎斯特频率（即采样定理）

此时我们得到了不同的${\omega }_0,{\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_N-1$，从这里也能看出，对于离散傅里叶级数，频域也是离散的。

$e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}$的释义

其实在音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT文章中已经解释过了，这里再简单解释一遍：

对于欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
$$e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$$
由此可以得到
$$e^{-j\omega n}=>\cos (j\omega n)-jsin(\omega n)$$
它表示的是随着$n$的增长，以频率$\omega$在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，可以根据之前文章中的图片进行理解。

${\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$的释义

而对于序列与复指数相乘，我们可以看作是序列$\tilde{x}[n]$对于不同谐波上的正交，即求投影。根据欧拉公式的特性，我们可以看到公式
$$\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$$
当${\omega }_m\ne {\omega }_l$时，$e^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于$e^{-j\omega n}$解释的图像，所以对于累加和${\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$为0。

也就是说对于$e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\times \tilde{x}[n]$，如果$\tilde{x}[n]$中间不包含特定的$\frac{-2\pi kn}{N}$(当$N,k$确定时)的频率，那么对于 ${\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$，求和为零。

2）左边解释

与DTFT相同，对于$\tilde{X}[k]$同样包含了幅度与相位，这里也简单回顾一下之前的文章。

实部与虚部

我们知道对于欧拉公式：
$$e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$$
它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，对于DFS中:
$$\begin{gathered} \tilde{X}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] \\ \tilde{X}[k]=\underset{Re(\tilde{X}[k])}{\underbrace{\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cos (\frac{2\pi }{N}k)}}-\underset{Ie(\tilde{X}[k])}{\underbrace{\sum _{n=0}^{N-1}j\tilde{x}[n]\sin (\frac{2\pi }{N}k)}} \end{gathered}$$

• $Re(\tilde{X}[k])$是实部
• $Im(\tilde{X}[k])$是虚部

幅度与相位

• 幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用$|\tilde{X}[k]|$表示信号在频率 $\omega$处的能量强度或振幅
  $$|\tilde{X}[k]|=\sqrt{Re(\tilde{X}[k]{)}^2+Im(\tilde{X}[k]{)}^2}$$
• 相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用$\arg (\tilde{X}[k])或\angle (\tilde{X}[k])$表示：
  $$\angle (\tilde{X}[k])={\tan }^{-1}\frac{Im(\tilde{X}[k])}{Re(\tilde{X}[k])}$$

二、IDFS推导

离散傅里叶级数的逆公式（Inverse Discrete Fourier Series, IDFS）是将频域信息转换回时间域信号的过程。其推导过程是基于傅里叶变换的性质。其验证如下：

• DFS
  $$\tilde{X}[k]=\sum _{m=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m]$$
• IDFS
  $$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k]$$
• 将DFS代入IDFS
  $$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}(\sum _{m=0}^{N-1}{e}^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m])e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}$$
• 根据交换求和
  $$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)}$$
• 内层求和
  $$\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)}=\{\begin{array}{l}N,n=m\\ 0,n\ne m\end{array}$$
• 将内层求和替换进入
  $$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\times N\times {\delta }_{n,m}$$
• 简化
  $$\tilde{x}[n]=\sum _{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\delta (n-m)$$

于是我们有一次得到了冲激分解公式，使用单位冲激序列表示的加权和。

三、DFS的性质

由于DFS和DTFT的相似性，在上一篇文章中音频进阶学习十——DTFT的条件、性质与举例，已经对于各种性质做了详细介绍，并且其推导公式很简单（如果感兴趣推导过程，可以看看北京航空航天大学王俊老师的课程），这里只做简单介绍。

1. 周期性性质

• 离散傅里叶级数的信号 $x[n]$ 是周期性的，周期为 $N$
• 其频域表示 $X[k]$ 也是周期性的，周期为 $N$，即：
  $$\tilde{X}[k]=\tilde{X}[k+N]$$

2.线性性质

离散傅里叶级数具有线性性质，即如果信号 $x_1[n]$和 $x_2[n]$ 的傅里叶系数分别是 $X_1[k]$和 $X_2[k]$，那么任意常数倍的线性组合也满足傅里叶级数的线性性:
$$\tilde{x}[n]=a{\tilde{x}}_1[n]+b{\tilde{x}}_2[n]\stackrel{DFS}{⟷}\tilde{X}[k]=a{\tilde{X}}_1[k]+b{\tilde{X}}_2[k]$$

3.时域移位

幅度频不变，相位成线性变化
$$\tilde{x}[n-n_d]\stackrel{DFS}{⟷}\tilde{X}[k]e^{-j\frac{2\pi k}{N}{n}_d}$$

4.频域移位

频域的移位相当于时域乘上一个复指数序列
$$\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}l}\stackrel{DFS}{⟷}\tilde{X}[k-l]$$

5.时间翻转

时域翻转，频域也会相应翻转，即幅度和相位也会翻转
$$\tilde{x}[-n]\stackrel{DFS}{⟷}\tilde{X}[-k]$$

6.时域卷积

时域卷积等于频域相乘，即$\ast$代表卷积运算
$$\tilde{x}[n]\ast \tilde{h}[n]\stackrel{DFS}{⟷}\tilde{X}[k]\times \tilde{H}[k]$$

7.频域卷积

频域卷积等于时域相乘，即$\ast$代表卷积运算
$$\tilde{x}[n]\times \tilde{w}[n]\stackrel{DFS}{⟷}\frac{1}{N}\sum _{l=0}^{N-1}\tilde{X}[l]\ast \tilde{W}[k-l]$$

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总结

本篇文章中对于DFS的公式做了详细的介绍，相信对于DFS和IDFS公式的推导和使用有了一定的理解。同时本篇文章也将DFS的性质做了介绍。

DFS和DTFT有着一定的联系和区：对于DFS，它主要用于表示周期性离散时间信号，在频域上是离散的且为周期的，而对于DTFT，它表示非周期性离散时间信号的频谱，在频域上是连续的。也就是说DFS可以看作为 DTFT 在一个周期内的采样。

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