证明: 极限的局部有界性

在考研数学中，极限的局部有界性是一个非常重要的概念，尤其是在讨论函数的连续性、可积性和可微性等性质时。局部有界性可以帮助我们理解函数在某些区域内的行为。
定理：
如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，则存在一个邻域 $U$（即包含点 $x_0$ 的开区间），使得对于 $x\in U$，有 $|f(x)|$ 被某个常数 $M$ 约束。换句话说，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近是局部有界的。

证明

假设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，根据极限的定义，对于任意的 $ϵ>0$，存在一个 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-L|<ϵ$。

这意味着，针对任意的 $ϵ$，在 $x_0$ 的某个邻域内，函数值 $f(x)$ 将无限接近于 $L$，并且满足：
$$|f(x)-L|<ϵ$$

不难推出：$$|f(x)|=|f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L|$$

因此，选择 $ϵ=1$，我们得到：$$|f(x)|\le 1+|L|$$

也就是说，在距离 $x_0$ 足够近的区域（即当 $|x-x_0|<\delta$ 时），$|f(x)|$ 的上界是 $1+|L|$。

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近是局部有界的，即存在一个常数 $M=1+|L|$，使得在该邻域内，对于所有的 $x$，都有：
$$|f(x)|\le M$$

结论：
如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内是局部有界的。这意味着函数在该邻域内不会变得无穷大，而是存在一个常数上界，进一步增强了我们对函数行为的理解。