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证明: 极限的局部有界性

在考研数学中,极限的局部有界性是一个非常重要的概念,尤其是在讨论函数的连续性、可积性和可微性等性质时。局部有界性可以帮助我们理解函数在某些区域内的行为。
定理:
如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = L \lim_{x \to x_0} f(x) = L limxx0f(x)=L,则存在一个邻域 U U U(即包含点 x 0 x_0 x0 的开区间),使得对于 x ∈ U x \in U xU,有 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| f(x) 被某个常数 M M M 约束。换句话说,函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 附近是局部有界的。

证明

假设 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = L \lim_{x \to x_0} f(x) = L limxx0f(x)=L,根据极限的定义,对于任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0,存在一个 δ > 0 \delta > 0 δ>0,使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < |x - x_0| < \delta 0<xx0<δ 时, ∣ f ( x ) − L ∣ < ϵ |f(x) - L| < \epsilon f(x)L<ϵ

这意味着,针对任意的 ϵ \epsilon ϵ,在 x 0 x_0 x0 的某个邻域内,函数值 f ( x ) f(x) f(x) 将无限接近于 L L L,并且满足:
∣ f ( x ) − L ∣ < ϵ |f(x) - L| < \epsilon f(x)L<ϵ

不难推出: ∣ f ( x ) ∣ = ∣ f ( x ) − L + L ∣ ≤ ∣ f ( x ) − L ∣ + ∣ L ∣ |f(x)| = |f(x) - L + L| \leq |f(x) - L| + |L| f(x)=f(x)L+Lf(x)L+L

因此,选择 ϵ = 1 \epsilon = 1 ϵ=1,我们得到: ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1 + ∣ L ∣ |f(x)| \leq 1 + |L| f(x)1+L

也就是说,在距离 x 0 x_0 x0 足够近的区域(即当 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x - x_0| < \delta xx0<δ 时), ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| f(x) 的上界是 1 + ∣ L ∣ 1 + |L| 1+L

因此,函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 附近是局部有界的,即存在一个常数 M = 1 + ∣ L ∣ M = 1 + |L| M=1+L,使得在该邻域内,对于所有的 x x x,都有:
∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \leq M f(x)M

结论:
如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = L \lim_{x \to x_0} f(x) = L limxx0f(x)=L,则 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某个邻域内是局部有界的。这意味着函数在该邻域内不会变得无穷大,而是存在一个常数上界,进一步增强了我们对函数行为的理解。

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