一口井深7米，一只蜗牛从井底往上爬每天爬3米掉下去1米，问几天能爬上井口？

一个井深7米，一只蜗牛从井底往上爬每天爬3米掉下去1米，问几天能爬上井口？

1. 通用解法

构建一个通用的解法，适用于任何井深和蜗牛的爬升、下滑距离。

问题描述：

• 井深为 $H$ 米。
• 蜗牛每天向上爬升 $U$ 米。
• 每天晚上会下滑 $D$ 米。
• 问蜗牛需要多少天才能爬出井口？

解决思路：

关键在于计算蜗牛在第 $N$ 天攀爬后是否已经达到或超过井口高度 $H$。在这之前，每天的净上升高度是 $U-D$ 米。

注意，当蜗牛在第 $N$ 天攀爬时，如果它在白天的爬升过程中已经达到或超过井口高度 $H$，那么它就成功了，这一天不需要再计算下滑。

步骤：

1. 判断是否一次就能爬出井口：

   • 如果$U\ge H$，那么蜗牛在第一天的白天就能爬出井口。
   • 这种情况下，蜗牛需要 1天。

2. 对于 $U<H$ 的情况：

   • 蜗牛每天的净上升高度为 $U-D$ 米（除了最后一天，因为最后一天不会再下滑）。

   • 第 $N$ 天之前，蜗牛每天结束时的累计高度为：
     $$\text{累计高度}=(U-D)\times (N-1)$$

   • 第 $N$ 天，蜗牛再向上爬 $U$ 米，达到：
     $$\text{总高度}=(U-D)\times (N-1)+U$$

   • 当总高度 大于或等于 井深 $H$ 时，蜗牛爬出井口。

3. 建立不等式求解 $N$：

   • 不等式：
     $$(U-D)\times (N-1)+U\ge H$$
   • 解这个不等式，求 $N$ 的最小整数值。

数学推导：

从以上不等式开始：
$$\begin{array}{rl}& (U-D)(N-1)+U\ge H\\ \Rightarrow & (U-D)(N-1)\ge H-U\\ \Rightarrow & N-1\ge \frac{H-U}{U-D}\\ \Rightarrow & N\ge \frac{H-U}{U-D}+1\end{array}$$

因为天数 $N$ 必须是整数，所以我们需要取不小于右边结果的最小整数，即对结果取上取整（向上取整，天数不能是小数）。
因此，通用公式为：
$$N=\lceil \frac{H-U}{U-D}\rceil +1$$

其中，$\lceil x\rceil$ 表示对 $x$ 向上取整。

示例应用：

以题目中的数据为例：

• 井深 $H=7$ 米
• 每天向上爬 $U=3$ 米
• 每晚下滑 $D=1$ 米

代入公式：
$$\begin{array}{rl}N& =\lceil \frac{H-U}{U-D}\rceil +1\\ & =\lceil \frac{7-3}{3-1}\rceil +1\\ & =\lceil \frac{4}{2}\rceil +1\\ & =\lceil 2\rceil +1\\ & =2+1\\ & =3\end{array}$$

因此，蜗牛需要 3天 爬出井口。

验证：

• 第1天结束后：

  • 向上爬 $3$ 米，达到 $3$ 米高度。
  • 下滑 $1$ 米，结束在 $2$ 米高度。

• 第2天结束后：

  • 向上爬 $3$ 米，从 $2$ 米达到 $5$ 米。
  • 下滑 $1$ 米，结束在 $4$ 米高度。

• 第3天白天：

  • 向上爬 $3$ 米，从 $4$ 米达到 $7$ 米，达到井口，成功爬出。

总结：

通过上述通用公式，我们可以快速计算任何情况下蜗牛爬出井口所需的天数，而不需要逐日列举。

关于公式的说明：

• 当 $U\ge H$ 时：

  • 蜗牛一天就能爬出井口，$N=1$。

• 当 $U<H$ 时：

  • 计算 $\frac{H-U}{U-D}$：

    • 分子 $H-U$ 表示在最后一天之前需要攀爬的总高度。
    • 分母 $U-D$ 表示每天的净上升高度。

  • 通过取上整，确保天数 $N$ 是整数，并且满足蜗牛能达到或超过井口高度。

答： 蜗牛需要 3天 爬出井口。

2. 拓展示例

对井深$H=8$米的情况进行详细的计算，使用之前推导的通用公式，确保理解过程并验证结果。

已知条件：

• 井深$H=8$米。
• 蜗牛每天向上爬升$U=3$米。
• 每天晚上下滑$D=1$米。

目标：

求蜗牛需要多少天才能爬出井口，即计算天数$N )。

步骤：

1. 判断是否一次就能爬出井口：

   • 由于$U=3$米，( H = 8$米，且$U < H )，所以蜗牛无法在一天内爬出井口，需要多天攀爬。

2. 计算每天的净上升高度：

   • 蜗牛每天的净上升高度为：
     $$\Delta h=U-D=3-1=2\text{ 米}$$

3. 建立不等式求解$N )：

   • 在第$N$天之前，蜗牛每天结束时的累计高度为：
     $$h_{\text{累计}}=(U-D)\times (N-1)$$
   • 第$N$天，蜗牛向上爬$U$米，达到总高度：
     $$h_{\text{总}}=h_{\text{累计}}+U=(U-D)(N-1)+U$$
   • 当$h_{\text{总}}\ge H$时，蜗牛爬出井口。
   • 建立不等式：
     $$(U-D)(N-1)+U\ge H$$

4. 求解不等式：

   $$\begin{array}{rl}(U-D)(N-1)+U& \ge H\\ (2)(N-1)+3& \ge 8\\ 2N-2+3& \ge 8\\ 2N+1& \ge 8\\ 2N& \ge 7\\ N& \ge \frac{7}{2}\\ N& \ge 3.5\end{array}$$

5. 取最小整数$N )：

   • 由于天数$N$必须是整数，并且蜗牛只有在第$N$天白天爬升后才能爬出井口，所以需要取不小于$3.5$的最小整数：
     $$N=\lceil 3.5\rceil =4$$
   • 因此，蜗牛需要 4天 才能爬出井口。

使用通用公式验证：

之前推导的通用公式为：

$$N=\lceil \frac{H-U}{U-D}\rceil +1$$

代入已知数值：

1. 计算$H-U$：

   $$H-U=8-3=5\text{ 米}$$

2. 计算$U-D$：

   $$U-D=3-1=2\text{ 米}$$

3. 计算$\frac{H-U}{U-D}$：

   $$\frac{H-U}{U-D}=\frac{5}{2}=2.5$$

4. 取上取整并加1：

   $$N=\lceil 2.5\rceil +1=3+1=4$$

结果与不等式求解得到的$N=4$一致。

逐日验证：

为了确保计算的正确性，我们可以模拟蜗牛的每日攀爬情况：

• 第1天：

  • 白天向上爬$3$米：从$0$米到达$3$米。
  • 晚上下滑$1$米：从$3$米滑到$2$米。

• 第2天：

  • 白天向上爬$3$米：从$2$米到达$5$米。
  • 晚上下滑$1$米：从$5$米滑到$4$米。

• 第3天：

  • 白天向上爬$3$米：从$4$米到达$7$米。
  • 晚上下滑$1$米：从$7$米滑到$6$米。

• 第4天：

  • 白天向上爬$3$米：从$6$米到达$9$米。

此时，蜗牛在白天爬升后达到$9$米，已经超过井口高度$H=8$米，成功爬出井口，不会再下滑。

结论：

蜗牛需要 4天 爬出井口。

总结：

通过使用通用公式和不等式求解，我们得到了蜗牛需要的天数$N=4$。逐日验证也证明了这一结果的正确性。这种方法适用于任何井深$H$和爬升、下滑距离$U$和$D$的情况，可以快速、准确地计算蜗牛爬出井口所需的天数。

答： 蜗牛需要 4天 爬出井口。