Hermite 插值

Hermite 插值

不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值相等，甚至要求高阶导数值也相等。满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式。

下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。设在节点 $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ 上，$y_j=f(x_j),m_j=f^{\prime }(x_j)(j=0,1,\cdots ,n)$，要求插值多项式 $H(x)$，满足条件
$$H(x_j)=y_j,H^{\prime }(x_j)=m_j(j=0,1,\cdots ,n).$$
这里给出的 $2n+2$ 个条件，可唯一确定一个次数不超过 $2n+1$ 的多项式
$$H_{2n+1}(x)=H(x),$$
其形式为
$$H_{2n+1}(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{2n+1}{x}^{2n+1}.$$