【抽象代数】1.2. 半群与群
群的定义
群=非空集合+二元运算+性质
定义1. 设 为一个非空集合,
上有二元运算
,满足结合律,则称
或
为一个半群。

定义2. 设 为半群,若元素
满足
,则称
为
的左幺元(右幺元:
),若
既是左幺元又是右幺元,则为幺元,
为幺元群。

定义3. 设 为幺半群,
为幺元,
,若元素
满足
,则称
为
的左逆元。
定义4(群的第一种定义). 幺半群 中的每两个元素都可逆,
称为群。
对
封闭
满足结合律
存在幺元
存在逆元:
使得
定义5(群的第二/三种定义). 幺半群 中的每两个元素都可逆,
称为群。
对
封闭
满足结合律
存在左/右幺元
存在左/右逆元:
使得
命题1. 幺半群中的幺元唯一。
命题2. 设 为群,则
中任一元的逆元唯一。
群的基本性质
命题3. 群:满足左右消去律
命题4. 设 为群,则对任何
,方程
都存在唯一解。
命题5(群的第四种定义). 设 为半群,若
都有解,则
为群。
命题6. 有限半群若满足左右消去律,则
为群。
定义6. 设 为群,
的阶指
中元素的个数,记号
,
时,称为有限群,
时,称为无限群。
定义7. 设 为群,
,若
,称
的阶为无穷;若至少存在一个
,则称a的阶为
。
命题7. 设 为群,
,则称
的阶为无穷,即
。
命题8. 设 为群,
,则称
的阶为
,则:
命题9. 设 为群,
,
的阶为
,则:
的阶为
,最大公因数
的阶为
命题10. 设 为群,
,
的阶为
,
的阶为
,且
,则
的阶为
。
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