从二维随机变量到多维随机变量

二维随机变量

设$X$和$Y$是定义在同一样本空间$\Omega$上的两个随机变量，称由它们组成的向量$(X,Y)$为二维随机变量，亦称为二维随机向量，其中称$X$和$Y$是二维随机变量的分量。

采用多个随机变量去描述一个随机现象，所以定义中的随机变量$X$和$Y$是要求定义在同一个样本空间上。相对于二维随机变量$(X,Y)$，也称$X$和$Y$是一维随机变量。

若随机变量$X$和$Y$之间存在相互关系，则需要将$(X,Y)$作为一个整体（向量）来进行研究。通过将两个随机变量$X$和$Y$组合成一个二维随机变量$(X,Y)$，可以更全面地描述和分析随机现象。

二维离散随机变量

若二维随机变量$(X,Y)$的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称$(X,Y)$为二维离散随机变量。

二维离散随机变量及其联合分布律

设二维离散随机变量$(X,Y)$所有可能取到的不同值为$(x_i,y_j)$，$i,j=1,2,\dots$，称

$$p_{ij}=p(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)$$

为$(X,Y)$的联合概率函数或联合分布律，简称为$(X,Y)$的概率函数或分布律。

• 二维离散随机变量：如果二维随机变量$(X,Y)$的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称其为二维离散随机变量。
• 联合概率函数$p_{ij}$：表示随机变量$X$取值为$x_i$且随机变量$Y$取值为$y_j$的概率。
• 联合分布律：所有可能的$(x_i,y_j)$对应的概率$p_{ij}$构成了二维离散随机变量$(X,Y)$的联合分布律。

设随机变量$X$可以取值$x_1,x_2,\dots ,x_m$，而随机变量$Y$可以取值$y_1,y_2,\dots ,y_n$。那么，$X$和$Y$的联合分布律可以通过以下方式表示：

$(X,Y)$	$Y=y_1$	$Y=y_2$	$\cdots$	$Y=y_j$	$\cdots$	$Y=y_n$
$X=x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$	$p_{1n}$
$X=x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$	$p_{2n}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$X=x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$	$p_{in}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$X=x_m$	$p_{m1}$	$p_{m2}$	$\cdots$	$p_{mj}$	$\cdots$	$p_{mn}$

在这个表中：

• 每个元素$p_{ij}$表示$X=x_i$且$Y=y_j$同时发生的概率。
• 所有$p_{ij}$值加起来等于 1，因为它们代表了所有可能事件的概率总和。

二维连续型随机变量及其联合概率密度函数

设$(X,Y)$是二维随机变量，$F(x,y)$是其联合分布函数。若存在非负二元函数$p(x,y)$，使得对于任意的实数$x$和$y$，有

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v,$$

则称$(X,Y)$为二维连续型随机变量，称$p(x,y)$为$(X,Y)$的联合概率密度函数，简称为概率密度。

• 联合分布函数$F(x,y)$描述了随机变量$X$和$Y$同时小于等于$x$和$y$的概率。
• 联合概率密度函数$p(x,y)$是一个非负二元函数，通过积分可以得到联合分布函数$F(x,y)$。
• 二维连续型随机变量：如果存在这样的联合概率密度函数$p(x,y)$，则称$(X,Y)$为二维连续型随机变量。

$n$维随机变量

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是定义在同一样本空间$\Omega$上的$n$个随机变量，称由它们组成的向量$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$为$n$维随机变量，亦称为$n$维随机向量，其中称$X_i$（$1\le i\le n$）是$n$维随机向量的第$i$个分量。

• $n$维随机变量：由$n$个随机变量$X_1,X_2,\dots ,X_n$组成的向量。
• $n$维随机向量：与$n$维随机变量同义，表示一个包含$n$个随机变量的向量。
• 分量：每个随机变量$X_i$（$1\le i\le n$）是$n$维随机向量的一个组成部分。