P3385 【模板】负环

P3385 【模板】负环 - 洛谷

题目描述

给定一个 n 个点的有向图，请求出图中是否存在从顶点 1 出发能到达的负环。

负环的定义是：一条边权之和为负数的回路。

输入格式

本题单测试点有多组测试数据。

输入的第一行是一个整数 T，表示测试数据的组数。对于每组数据的格式如下：

第一行有两个整数，分别表示图的点数 n 和接下来给出边信息的条数 m。

接下来 m 行，每行三个整数 u,v,w。

• 若 w>0，则表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边，还存在一条从 v 至 u 边权为 w 的边。
• 若 w<0，则只表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个字符串，若所求负环存在，则输出 YES，否则输出 NO。

输入输出样例

输入 #1

2
3 4
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 -3
2 3
1 2 3
2 3 4
3 1 -8

输出 #1

NO
YES

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证：

• 1≤n≤2×103
• 1≤m≤3×103
• 1≤u,v≤n
• −104≤w≤104
• 1≤T≤10

提示

请注意，m 不是图的边数。

思路：

SPFA算法原理

SPFA算法是Bellman-Ford算法的队列优化版本，用于求解单源最短路径问题，特别适用于存在负权边的图。算法的基本思想是：

1. 初始化：将源点到所有点的最短路径估计值初始化为无穷大（或一个很大的数），源点到自身的距离初始化为0，并将源点加入队列。
2. 松弛操作：每次从队列中取出一个点，对该点的所有邻接点进行松弛操作。如果通过当前点能够找到更短的路径到达邻接点，则更新邻接点的最短路径估计值，并将邻接点加入队列（如果它不在队列中）。
3. 重复执行：不断重复上述松弛操作，直到队列为空。

负环的性质

负环是指图中存在一个环，环上的边权之和为负数。负环的存在会导致最短路径问题无解，因为可以无限次地通过负环来减小路径长度。

SPFA判断负环的原理

在SPFA算法中，如果图中存在负环，那么算法在松弛操作时会不断地更新负环上点的最短路径估计值，并将这些点反复加入队列。具体来说，如果一个点被松弛了多次（超过图中节点的总数），说明该点可能位于一个负环上，因为正常情况下，从一个点到另一个点的最短路径不会经过超过图中节点总数的边数（在最短路径中，每个节点最多被经过一次，除非存在环）。

为了检测负环，SPFA算法在执行过程中会记录每个点进入队列的次数。如果一个点进入队列的次数超过了图中节点的总数，就可以判定图中存在负环。

算法实现细节

在实际实现中，SPFA算法通常使用一个计数器数组来记录每个点进入队列的次数。在松弛操作时，如果更新了某个点的最短路径估计值，并且该点不在队列中，就将其加入队列，并增加其计数器值。最后，检查所有点的计数器值，如果存在超过图中节点总数的计数器值，就返回存在负环的结果。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2e5 * 5 + 5;
ll tot = 0;
ll n, m, s;
struct Edge{ll next,to,w;
}e[N];
ll head[N],dis[N]; 
void add(ll u,ll v,ll w)
{tot++;e[tot].next = head[u];e[tot].to = v;e[tot].w = w;head[u] = tot;
}
void spfa()
{queue<ll> q;q.push(s);memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[s]=0;while(!q.empty()){ll pos = q.front();q.pop();ll u = head[u];while(u != -1){ll to = e[u].to;ll w = e[u].w;if(dis[to] > w + dis[pos]){dis[to] = w + dis[pos];q.push(to);}}}
}
int main()
{cin >> n >> m >> s;for(ll i = 1 ; i <= m ; i++){ll u,v,w;cin >> u >> v >> w;add(u,v,w);}spfa();return 0;
}