精选一百道备赛蓝桥杯——2.K倍区间


解题思路
- 任何两个前缀区间的和对k取模的值相等,则由大的前缀区间减掉小的前缀区间所形成的区间的必定是K倍区间。
- 因此我们可以对具有区间和%k值相等任何两个区间进行组合,再将这些值加起来就得到结果!
- 证明: 假设一个数列为a1,a2,a3,…,an,一个小的前缀区间s1为a1,a2,a3,…,ap,还有一个大的前缀区间s2为a1,a2,a3,…,a(p+m),p,p+m<n。
- 当我们对s1、s2的和分别取模,得到(a1+a2+a3+…+ap)%k和(a1+a2+a3+…+ap+m)%k,当这两个值相等的时候。
- 我们则可以列出这个等式:(a1+a2+a3+…+ap)%k-(a1+a2+a3+…+ap+m)%k=0,根据取模也具有分配律可得到,(a1+a2+a3+…+ap-a1-a2-a3-…-ap+m)%k=0。
- 因此可以推出结论,s2-s1得出的区间必定为k倍区间。
代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
long long a[100010];
long long cnt[100010];
long long ans = 0;
int main()
{cnt[0]++;int n, k; cin >> n >> k;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];a[i] += a[i-1];}for(int i = 1; i <= n; i++) ans += cnt[a[i] % k]++;cout << ans;return 0;
}
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