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【漫话机器学习系列】121.偏导数(Partial Derivative)

偏导数(Partial Derivative)详解

1. 引言

在数学分析、机器学习、物理学和工程学中,我们经常会遇到多个变量的函数。这些函数的输出不仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定的。那么,当其中某一个变量发生变化时,函数的输出如何变化呢?这就涉及到了偏导数(Partial Derivative)的概念。

偏导数是多变量微积分的重要工具,它描述了一个多变量函数对其中某一个变量的变化率。在最优化问题、梯度计算、物理模拟等多个领域,偏导数都扮演着关键角色。

本文将详细介绍:

  • 偏导数的定义
  • 计算方法
  • 几何意义
  • 在机器学习等领域的应用

2. 偏导数的定义

f(x_1, x_2, ..., x_n) 是一个由多个变量 x_1, x_2, ..., x_n​ 组成的函数,我们希望研究函数在某个变量 xix_ixi​ 上的变化趋势,而保持其他变量不变,则偏导数的定义如下:

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}

其中:

  • \frac{\partial}{\partial x_i}​ 表示x_i 进行偏导,即计算函数在该变量上的变化率。
  • 其他变量 x_1, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., x_n保持不变
  • 这个极限表示当 x_i​ 发生微小变化时,函数 f 的变化速率。

2.1. 与普通导数的区别

普通导数(单变量函数的导数)是研究一个变量的函数 y = f(x) 随着 x 变化的变化率:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

偏导数适用于多个变量的函数,它只关注某一个变量的变化率,其他变量保持不变。


3. 偏导数的计算方法

3.1. 基本计算规则

计算偏导数时,我们假设所有变量除了要求偏导的变量外都是常数,然后按照普通导数的方法求导。

示例 1:二元函数

给定函数:

f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2

求 fff 对 x 和 y 的偏导数。

(1)对 x 求偏导

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 3xy + y^2)

  • x^2 对 x 的导数是 2x。
  • 3xy 对 x 的导数是 3y(因为 y 被视为常数)。
  • y^2 对 x 的导数是 0(因为它不含 x)。

所以:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y

(2)对 y 求偏导

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 3xy + y^2)

  • x^2 对 y 的导数是 0(因为它不含 y)。
  • 3xy 对 y 的导数是 3x(因为 x 被视为常数)。
  • y^2 对 y 的导数是 2y。

所以:

\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y


3.2. 高阶偏导数

偏导数可以继续求导,形成二阶偏导数,甚至更高阶的偏导数。二阶偏导数有两种情况:

  1. 同一个变量求两次导数(纯二阶偏导):\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
  2. 对不同变量求两次导数(混合二阶偏导):\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
示例 2:求二阶偏导

继续对示例 1f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2 计算二阶偏导数:

  • 纯二阶偏导:

    \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 3y) = 2
    \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (3x + 2y) = 2
  • 混合二阶偏导:

    \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}
    \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x + 2y) = 3

4. 几何意义

偏导数的几何意义可以用曲面切线的斜率来理解:

  • \frac{\partial f}{\partial x} 代表在固定 y 的情况下,曲面沿 x 轴方向的变化率。
  • \frac{\partial f}{\partial y} 代表在固定 x 的情况下,曲面沿 y 轴方向的变化率。

可以想象,一个多变量函数 f(x, y) 是一个三维曲面,而偏导数就是在某个方向上的斜率。


5. 偏导数在机器学习中的应用

5.1. 梯度下降(Gradient Descent)

在机器学习和深度学习中,偏导数用于计算损失函数的梯度,指导模型参数的优化。梯度下降算法的核心思想是:

\theta = \theta - \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta}

其中:

  • \frac{\partial J}{\partial \theta} 是损失函数 J 对参数 θ 的偏导数。
  • α 是学习率。

5.2. 计算神经网络的权重更新

神经网络中的反向传播(Backpropagation)算法依赖于偏导数来计算梯度,从而调整权重。


6. 结论

偏导数是研究多变量函数的变化率的重要工具,它在数学、物理、工程和机器学习等领域都有广泛应用。通过计算偏导数,我们可以:

  • 了解函数在某个方向上的变化趋势。
  • 优化机器学习模型(如梯度下降)。
  • 分析三维曲面的形状和斜率。

掌握偏导数是进一步学习多元微积分、优化方法和机器学习的基础!

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