【漫话机器学习系列】121.偏导数(Partial Derivative)

偏导数(Partial Derivative)详解
1. 引言
在数学分析、机器学习、物理学和工程学中,我们经常会遇到多个变量的函数。这些函数的输出不仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定的。那么,当其中某一个变量发生变化时,函数的输出如何变化呢?这就涉及到了偏导数(Partial Derivative)的概念。
偏导数是多变量微积分的重要工具,它描述了一个多变量函数对其中某一个变量的变化率。在最优化问题、梯度计算、物理模拟等多个领域,偏导数都扮演着关键角色。
本文将详细介绍:
- 偏导数的定义
- 计算方法
- 几何意义
- 在机器学习等领域的应用
2. 偏导数的定义
设 是一个由多个变量
组成的函数,我们希望研究函数在某个变量 xix_ixi 上的变化趋势,而保持其他变量不变,则偏导数的定义如下:
其中:
表示对
进行偏导,即计算函数在该变量上的变化率。
- 其他变量
保持不变。
- 这个极限表示当
发生微小变化时,函数 f 的变化速率。
2.1. 与普通导数的区别
普通导数(单变量函数的导数)是研究一个变量的函数 y = f(x) 随着 x 变化的变化率:
而偏导数适用于多个变量的函数,它只关注某一个变量的变化率,其他变量保持不变。
3. 偏导数的计算方法
3.1. 基本计算规则
计算偏导数时,我们假设所有变量除了要求偏导的变量外都是常数,然后按照普通导数的方法求导。
示例 1:二元函数
给定函数:
求 fff 对 x 和 y 的偏导数。
(1)对 x 求偏导
对 x 的导数是 2x。
- 3xy 对 x 的导数是 3y(因为 y 被视为常数)。
对 x 的导数是 0(因为它不含 x)。
所以:
(2)对 y 求偏导
对 y 的导数是 0(因为它不含 y)。
- 3xy 对 y 的导数是 3x(因为 x 被视为常数)。
对 y 的导数是 2y。
所以:
3.2. 高阶偏导数
偏导数可以继续求导,形成二阶偏导数,甚至更高阶的偏导数。二阶偏导数有两种情况:
- 同一个变量求两次导数(纯二阶偏导):
- 对不同变量求两次导数(混合二阶偏导):
示例 2:求二阶偏导
继续对示例 1的 计算二阶偏导数:
- 纯二阶偏导:
- 混合二阶偏导:
4. 几何意义
偏导数的几何意义可以用曲面切线的斜率来理解:
代表在固定 y 的情况下,曲面沿 x 轴方向的变化率。
代表在固定 x 的情况下,曲面沿 y 轴方向的变化率。
可以想象,一个多变量函数 f(x, y) 是一个三维曲面,而偏导数就是在某个方向上的斜率。
5. 偏导数在机器学习中的应用
5.1. 梯度下降(Gradient Descent)
在机器学习和深度学习中,偏导数用于计算损失函数的梯度,指导模型参数的优化。梯度下降算法的核心思想是:
其中:
是损失函数 J 对参数 θ 的偏导数。
- α 是学习率。
5.2. 计算神经网络的权重更新
神经网络中的反向传播(Backpropagation)算法依赖于偏导数来计算梯度,从而调整权重。
6. 结论
偏导数是研究多变量函数的变化率的重要工具,它在数学、物理、工程和机器学习等领域都有广泛应用。通过计算偏导数,我们可以:
- 了解函数在某个方向上的变化趋势。
- 优化机器学习模型(如梯度下降)。
- 分析三维曲面的形状和斜率。
掌握偏导数是进一步学习多元微积分、优化方法和机器学习的基础!
相关文章:
【漫话机器学习系列】121.偏导数(Partial Derivative)
偏导数(Partial Derivative)详解 1. 引言 在数学分析、机器学习、物理学和工程学中,我们经常会遇到多个变量的函数。这些函数的输出不仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定的。那么,当其中某一个变量发生变化时&…...
Deepseek可以通过多种方式帮助CAD加速工作
自动化操作:通过Deepseek的AI能力,可以编写脚本来自动化重复性任务。例如,使用Python脚本调用Deepseek API,在CAD中实现自动化操作。 插件开发:结合Deepseek进行二次开发,可以创建自定义的CAD插件。例如&a…...
【工具使用】IDEA 社区版如何创建 Spring Boot 项目(详细教程)
IDEA 社区版如何创建 Spring Boot 项目(详细教程) Spring Boot 以其简洁、高效的特性,成为 Java 开发的主流框架之一。虽然 IntelliJ IDEA 专业版提供了Spring Boot 项目向导,但 社区版(Community Edition)…...
QT中串口打开按钮如何点击打开后又能点击关闭
前言: if (!portOpen) { // 打开串口 if (!sp18Controller->initializePort("COM5", 38400)) { QMessageBox::critical(this, "Error", "Failed to open serial port."); return; } ui->btnOpenPort_2->setText("Close…...
【AI深度学习基础】PyTorch初探
引言 PyTorch 是由 Facebook 开源的深度学习框架,专门针对 GPU 加速的深度神经网络编程,它的核心概念包括张量(Tensor)、计算图和自动求导机制。PyTorch作为Facebook开源的深度学习框架,凭借其动态计算图和直观的API设…...
springboot011基于springboot的课程作业管理系统(源码+包运行+LW+技术指导)
项目描述 临近学期结束,还是毕业设计,你还在做java程序网络编程,期末作业,老师的作业要求觉得难了吗?不知道毕业设计该怎么办?网页功能的数量是否太多?没有合适的类型或系统?等等,你想解决的问题,今天…...
快速从C过度C++(一):namespace,C++的输入和输出,缺省参数,函数重载
📝前言: 本文章适合有一定C语言编程基础的读者浏览,主要介绍从C语言到C过度,我们首先要掌握的一些基础知识,以便于我们快速进入C的学习,为后面的学习打下基础。 这篇文章的主要内容有: 1&#x…...
PostgreSQL时间计算大全:从时间差到时区转换(保姆级教程)
一、时间计算的三大核心场景 当你遇到这些需求时,本文就是你的救星🌟: 倒计时功能:计算活动剩余天数 用户行为分析:统计操作间隔时间 跨国系统:多时区时间统一管理 报表生成:自动计算同比/环…...
laravel es 相关代码 ElasticSearch
来源: github <?phpnamespace App\Http\Controllers;use Elastic\Elasticsearch\ClientBuilder; use Illuminate\Support\Facades\DB;class ElasticSearch extends Controller {public $client null;public function __construct(){$this->client ClientB…...
题目 3220 ⭐因数计数⭐【数理基础】蓝桥杯2024年第十五届省赛
小蓝随手写出了含有 n n n 个正整数的数组 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n {a_1, a_2, , a_n} a1,a2,⋅⋅⋅,an ,他发现可以轻松地算出有多少个有序二元组 ( i , j ) (i, j) (i,j) 满足 a j a_j aj 是 a i a_i ai 的一个因数。因此他定义一个整数对 …...
【Java代码审计 | 第十一篇】SSRF漏洞成因及防范
未经许可,不得转载。 文章目录 SSRF漏洞成因Java中发送HTTP请求的函数1、HttpURLConnection2、HttpClient(Java 11)3、第三方库Request库漏洞示例OkHttpClient漏洞示例HttpClients漏洞示例 漏洞代码示例防范标准代码 SSRF SSRF(S…...
RabbitMQ高级特性--消息确认机制
目录 一、消息确认 1.消息确认机制 2.手动确认方法 二、代码示例 1. AcknowledgeMode.NONE 1.1 配置文件 1.2 生产者 1.3 消费者 1.4 运行程序 2.AcknowledgeMode.AUTO 3.AcknowledgeMode.MANUAL 一、消息确认 1.消息确认机制 生产者发送消息之后,到达消…...
C++复试笔记(一)
Setw 是C中用于设置输出字段宽度的函数。当使用 setw(3) 时,它会设置紧接着的输出字段的最小宽度为3个字符。如果字段内容长度小于3,则会在左侧填充空格以达到指定宽度;如果内容长度大于或等于3,则全部内容将被输出,…...
K8s 1.27.1 实战系列(四)验证集群及应用部署测试
一、验证集群可用性 1、检查节点 kubectl get nodes ------------------------------------------------------ NAME STATUS ROLES AGE VERSION k8s-master Ready control-plane 3h48m v1.27.1 k8s-node1 Ready <none> …...
基于Spring Boot的健美操评分管理系统设计与实现(LW+源码+讲解)
专注于大学生项目实战开发,讲解,毕业答疑辅导,欢迎高校老师/同行前辈交流合作✌。 技术范围:SpringBoot、Vue、SSM、HLMT、小程序、Jsp、PHP、Nodejs、Python、爬虫、数据可视化、安卓app、大数据、物联网、机器学习等设计与开发。 主要内容:…...
H5页面在移动端自动横屏
首先需要再head标签添加这样一段代码 <meta name="viewport" content="width=device-width,height=device-width,initial-scale=1.0,user-scalable=no">因为需求是为了满足WEB端和手机端都可以查看整体效果 但由于UI没有设计移动端的样式 所以我想说…...
【从0到1搞懂大模型】神经网络的实现:数据策略、模型调优与评估体系(3)
一、数据集的划分 (1)按一定比例划分为训练集和测试集 我们通常取8-2、7-3、6-4、5-5比例切分,直接将数据随机划分为训练集和测试集,然后使用训练集来生成模型,再用测试集来测试模型的正确率和误差,以验证…...
从0到1入门RabbitMQ
一、同步调用 优势:时效性强,等待到结果后才返回 缺点: 拓展性差性能下降级联失败问题 二、异步调用 优势: 耦合度低,拓展性强异步调用,无需等待,性能好故障隔离,下游服务故障不影响…...
MySQL数据库复杂的增删改查操作
在前面的文章中,我们主要学习了数据库的基础知识以及基本的增删改查的操作。接下去将以一个比较实际的公司数据库为例子,进行讲解一些较为复杂且现时需求的例子。 基础知识: 一文清晰梳理Mysql 数据库基础知识_字段变动如何梳理清楚-CSDN博…...
点云软件VeloView开发环境搭建与编译
官方编译说明 LidarView / LidarView-Superbuild GitLab 我的编译过程: 安装vs2019,windows sdk,qt5.14.2(没安装到5.15.7),git,cmake3.31,python3.7.9,ninja下载放到…...
循环冗余码校验CRC码 算法步骤+详细实例计算
通信过程:(白话解释) 我们将原始待发送的消息称为 M M M,依据发送接收消息双方约定的生成多项式 G ( x ) G(x) G(x)(意思就是 G ( x ) G(x) G(x) 是已知的)࿰…...
苍穹外卖--缓存菜品
1.问题说明 用户端小程序展示的菜品数据都是通过查询数据库获得,如果用户端访问量比较大,数据库访问压力随之增大 2.实现思路 通过Redis来缓存菜品数据,减少数据库查询操作。 缓存逻辑分析: ①每个分类下的菜品保持一份缓存数据…...
LLM基础1_语言模型如何处理文本
基于GitHub项目:https://github.com/datawhalechina/llms-from-scratch-cn 工具介绍 tiktoken:OpenAI开发的专业"分词器" torch:Facebook开发的强力计算引擎,相当于超级计算器 理解词嵌入:给词语画"…...
在Mathematica中实现Newton-Raphson迭代的收敛时间算法(一般三次多项式)
考察一般的三次多项式,以r为参数: p[z_, r_] : z^3 (r - 1) z - r; roots[r_] : z /. Solve[p[z, r] 0, z]; 此多项式的根为: 尽管看起来这个多项式是特殊的,其实一般的三次多项式都是可以通过线性变换化为这个形式…...
探索Selenium:自动化测试的神奇钥匙
目录 一、Selenium 是什么1.1 定义与概念1.2 发展历程1.3 功能概述 二、Selenium 工作原理剖析2.1 架构组成2.2 工作流程2.3 通信机制 三、Selenium 的优势3.1 跨浏览器与平台支持3.2 丰富的语言支持3.3 强大的社区支持 四、Selenium 的应用场景4.1 Web 应用自动化测试4.2 数据…...
抽象类和接口(全)
一、抽象类 1.概念:如果⼀个类中没有包含⾜够的信息来描绘⼀个具体的对象,这样的类就是抽象类。 像是没有实际⼯作的⽅法,我们可以把它设计成⼀个抽象⽅法,包含抽象⽅法的类我们称为抽象类。 2.语法 在Java中,⼀个类如果被 abs…...
c# 局部函数 定义、功能与示例
C# 局部函数:定义、功能与示例 1. 定义与功能 局部函数(Local Function)是嵌套在另一个方法内部的私有方法,仅在包含它的方法内可见。 • 作用:封装仅用于当前方法的逻辑,避免污染类作用域,提升…...
AxureRP-Pro-Beta-Setup_114413.exe (6.0.0.2887)
Name:3ddown Serial:FiCGEezgdGoYILo8U/2MFyCWj0jZoJc/sziRRj2/ENvtEq7w1RH97k5MWctqVHA 注册用户名:Axure 序列号:8t3Yk/zu4cX601/seX6wBZgYRVj/lkC2PICCdO4sFKCCLx8mcCnccoylVb40lP...
Vue 3 + WebSocket 实战:公司通知实时推送功能详解
📢 Vue 3 WebSocket 实战:公司通知实时推送功能详解 📌 收藏 点赞 关注,项目中要用到推送功能时就不怕找不到了! 实时通知是企业系统中常见的功能,比如:管理员发布通知后,所有用户…...
Xcode 16 集成 cocoapods 报错
基于 Xcode 16 新建工程项目,集成 cocoapods 执行 pod init 报错 ### Error RuntimeError - PBXGroup attempted to initialize an object with unknown ISA PBXFileSystemSynchronizedRootGroup from attributes: {"isa">"PBXFileSystemSynchro…...
