当前位置: 首页 > news >正文

【漫话机器学习系列】121.偏导数(Partial Derivative)

偏导数(Partial Derivative)详解

1. 引言

在数学分析、机器学习、物理学和工程学中,我们经常会遇到多个变量的函数。这些函数的输出不仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定的。那么,当其中某一个变量发生变化时,函数的输出如何变化呢?这就涉及到了偏导数(Partial Derivative)的概念。

偏导数是多变量微积分的重要工具,它描述了一个多变量函数对其中某一个变量的变化率。在最优化问题、梯度计算、物理模拟等多个领域,偏导数都扮演着关键角色。

本文将详细介绍:

  • 偏导数的定义
  • 计算方法
  • 几何意义
  • 在机器学习等领域的应用

2. 偏导数的定义

f(x_1, x_2, ..., x_n) 是一个由多个变量 x_1, x_2, ..., x_n​ 组成的函数,我们希望研究函数在某个变量 xix_ixi​ 上的变化趋势,而保持其他变量不变,则偏导数的定义如下:

\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}

其中:

  • \frac{\partial}{\partial x_i}​ 表示x_i 进行偏导,即计算函数在该变量上的变化率。
  • 其他变量 x_1, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., x_n保持不变
  • 这个极限表示当 x_i​ 发生微小变化时,函数 f 的变化速率。

2.1. 与普通导数的区别

普通导数(单变量函数的导数)是研究一个变量的函数 y = f(x) 随着 x 变化的变化率:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

偏导数适用于多个变量的函数,它只关注某一个变量的变化率,其他变量保持不变。


3. 偏导数的计算方法

3.1. 基本计算规则

计算偏导数时,我们假设所有变量除了要求偏导的变量外都是常数,然后按照普通导数的方法求导。

示例 1:二元函数

给定函数:

f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2

求 fff 对 x 和 y 的偏导数。

(1)对 x 求偏导

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 3xy + y^2)

  • x^2 对 x 的导数是 2x。
  • 3xy 对 x 的导数是 3y(因为 y 被视为常数)。
  • y^2 对 x 的导数是 0(因为它不含 x)。

所以:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y

(2)对 y 求偏导

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 3xy + y^2)

  • x^2 对 y 的导数是 0(因为它不含 y)。
  • 3xy 对 y 的导数是 3x(因为 x 被视为常数)。
  • y^2 对 y 的导数是 2y。

所以:

\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y


3.2. 高阶偏导数

偏导数可以继续求导,形成二阶偏导数,甚至更高阶的偏导数。二阶偏导数有两种情况:

  1. 同一个变量求两次导数(纯二阶偏导):\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
  2. 对不同变量求两次导数(混合二阶偏导):\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
示例 2:求二阶偏导

继续对示例 1f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2 计算二阶偏导数:

  • 纯二阶偏导:

    \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 3y) = 2
    \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (3x + 2y) = 2
  • 混合二阶偏导:

    \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}
    \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x + 2y) = 3

4. 几何意义

偏导数的几何意义可以用曲面切线的斜率来理解:

  • \frac{\partial f}{\partial x} 代表在固定 y 的情况下,曲面沿 x 轴方向的变化率。
  • \frac{\partial f}{\partial y} 代表在固定 x 的情况下,曲面沿 y 轴方向的变化率。

可以想象,一个多变量函数 f(x, y) 是一个三维曲面,而偏导数就是在某个方向上的斜率。


5. 偏导数在机器学习中的应用

5.1. 梯度下降(Gradient Descent)

在机器学习和深度学习中,偏导数用于计算损失函数的梯度,指导模型参数的优化。梯度下降算法的核心思想是:

\theta = \theta - \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta}

其中:

  • \frac{\partial J}{\partial \theta} 是损失函数 J 对参数 θ 的偏导数。
  • α 是学习率。

5.2. 计算神经网络的权重更新

神经网络中的反向传播(Backpropagation)算法依赖于偏导数来计算梯度,从而调整权重。


6. 结论

偏导数是研究多变量函数的变化率的重要工具,它在数学、物理、工程和机器学习等领域都有广泛应用。通过计算偏导数,我们可以:

  • 了解函数在某个方向上的变化趋势。
  • 优化机器学习模型(如梯度下降)。
  • 分析三维曲面的形状和斜率。

掌握偏导数是进一步学习多元微积分、优化方法和机器学习的基础!

相关文章:

【漫话机器学习系列】121.偏导数(Partial Derivative)

偏导数(Partial Derivative)详解 1. 引言 在数学分析、机器学习、物理学和工程学中,我们经常会遇到多个变量的函数。这些函数的输出不仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定的。那么,当其中某一个变量发生变化时&…...

Deepseek可以通过多种方式帮助CAD加速工作

自动化操作:通过Deepseek的AI能力,可以编写脚本来自动化重复性任务。例如,使用Python脚本调用Deepseek API,在CAD中实现自动化操作。 插件开发:结合Deepseek进行二次开发,可以创建自定义的CAD插件。例如&a…...

【工具使用】IDEA 社区版如何创建 Spring Boot 项目(详细教程)

IDEA 社区版如何创建 Spring Boot 项目(详细教程) Spring Boot 以其简洁、高效的特性,成为 Java 开发的主流框架之一。虽然 IntelliJ IDEA 专业版提供了Spring Boot 项目向导,但 社区版(Community Edition&#xff09…...

QT中串口打开按钮如何点击打开后又能点击关闭

前言: if (!portOpen) { // 打开串口 if (!sp18Controller->initializePort("COM5", 38400)) { QMessageBox::critical(this, "Error", "Failed to open serial port."); return; } ui->btnOpenPort_2->setText("Close…...

【AI深度学习基础】PyTorch初探

引言 PyTorch 是由 Facebook 开源的深度学习框架,专门针对 GPU 加速的深度神经网络编程,它的核心概念包括张量(Tensor)、计算图和自动求导机制。PyTorch作为Facebook开源的深度学习框架,凭借其动态计算图和直观的API设…...

springboot011基于springboot的课程作业管理系统(源码+包运行+LW+技术指导)

项目描述 临近学期结束,还是毕业设计,你还在做java程序网络编程,期末作业,老师的作业要求觉得难了吗?不知道毕业设计该怎么办?网页功能的数量是否太多?没有合适的类型或系统?等等,你想解决的问题,今天…...

快速从C过度C++(一):namespace,C++的输入和输出,缺省参数,函数重载

📝前言: 本文章适合有一定C语言编程基础的读者浏览,主要介绍从C语言到C过度,我们首先要掌握的一些基础知识,以便于我们快速进入C的学习,为后面的学习打下基础。 这篇文章的主要内容有: 1&#x…...

PostgreSQL时间计算大全:从时间差到时区转换(保姆级教程)

一、时间计算的三大核心场景 当你遇到这些需求时,本文就是你的救星🌟: 倒计时功能:计算活动剩余天数 用户行为分析:统计操作间隔时间 跨国系统:多时区时间统一管理 报表生成:自动计算同比/环…...

laravel es 相关代码 ElasticSearch

来源&#xff1a; github <?phpnamespace App\Http\Controllers;use Elastic\Elasticsearch\ClientBuilder; use Illuminate\Support\Facades\DB;class ElasticSearch extends Controller {public $client null;public function __construct(){$this->client ClientB…...

题目 3220 ⭐因数计数⭐【数理基础】蓝桥杯2024年第十五届省赛

小蓝随手写出了含有 n n n 个正整数的数组 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n {a_1, a_2, , a_n} a1​,a2​,⋅⋅⋅,an​ &#xff0c;他发现可以轻松地算出有多少个有序二元组 ( i , j ) (i, j) (i,j) 满足 a j a_j aj​ 是 a i a_i ai​ 的一个因数。因此他定义一个整数对 …...

【Java代码审计 | 第十一篇】SSRF漏洞成因及防范

未经许可&#xff0c;不得转载。 文章目录 SSRF漏洞成因Java中发送HTTP请求的函数1、HttpURLConnection2、HttpClient&#xff08;Java 11&#xff09;3、第三方库Request库漏洞示例OkHttpClient漏洞示例HttpClients漏洞示例 漏洞代码示例防范标准代码 SSRF SSRF&#xff08;S…...

RabbitMQ高级特性--消息确认机制

目录 一、消息确认 1.消息确认机制 2.手动确认方法 二、代码示例 1. AcknowledgeMode.NONE 1.1 配置文件 1.2 生产者 1.3 消费者 1.4 运行程序 2.AcknowledgeMode.AUTO 3.AcknowledgeMode.MANUAL 一、消息确认 1.消息确认机制 生产者发送消息之后&#xff0c;到达消…...

C++复试笔记(一)

Setw 是C中用于设置输出字段宽度的函数。当使用 setw(3) 时&#xff0c;它会设置紧接着的输出字段的最小宽度为3个字符。如果字段内容长度小于3&#xff0c;则会在左侧填充空格以达到指定宽度&#xff1b;如果内容长度大于或等于3&#xff0c;则全部内容将被输出&#xff0c;…...

K8s 1.27.1 实战系列(四)验证集群及应用部署测试

一、验证集群可用性 1、检查节点 kubectl get nodes ------------------------------------------------------ NAME STATUS ROLES AGE VERSION k8s-master Ready control-plane 3h48m v1.27.1 k8s-node1 Ready <none> …...

基于Spring Boot的健美操评分管理系统设计与实现(LW+源码+讲解)

专注于大学生项目实战开发,讲解,毕业答疑辅导&#xff0c;欢迎高校老师/同行前辈交流合作✌。 技术范围&#xff1a;SpringBoot、Vue、SSM、HLMT、小程序、Jsp、PHP、Nodejs、Python、爬虫、数据可视化、安卓app、大数据、物联网、机器学习等设计与开发。 主要内容&#xff1a;…...

H5页面在移动端自动横屏

首先需要再head标签添加这样一段代码 <meta name="viewport" content="width=device-width,height=device-width,initial-scale=1.0,user-scalable=no">因为需求是为了满足WEB端和手机端都可以查看整体效果 但由于UI没有设计移动端的样式 所以我想说…...

【从0到1搞懂大模型】神经网络的实现:数据策略、模型调优与评估体系(3)

一、数据集的划分 &#xff08;1&#xff09;按一定比例划分为训练集和测试集 我们通常取8-2、7-3、6-4、5-5比例切分&#xff0c;直接将数据随机划分为训练集和测试集&#xff0c;然后使用训练集来生成模型&#xff0c;再用测试集来测试模型的正确率和误差&#xff0c;以验证…...

从0到1入门RabbitMQ

一、同步调用 优势&#xff1a;时效性强&#xff0c;等待到结果后才返回 缺点&#xff1a; 拓展性差性能下降级联失败问题 二、异步调用 优势&#xff1a; 耦合度低&#xff0c;拓展性强异步调用&#xff0c;无需等待&#xff0c;性能好故障隔离&#xff0c;下游服务故障不影响…...

MySQL数据库复杂的增删改查操作

在前面的文章中&#xff0c;我们主要学习了数据库的基础知识以及基本的增删改查的操作。接下去将以一个比较实际的公司数据库为例子&#xff0c;进行讲解一些较为复杂且现时需求的例子。 基础知识&#xff1a; 一文清晰梳理Mysql 数据库基础知识_字段变动如何梳理清楚-CSDN博…...

点云软件VeloView开发环境搭建与编译

官方编译说明 LidarView / LidarView-Superbuild GitLab 我的编译过程&#xff1a; 安装vs2019&#xff0c;windows sdk&#xff0c;qt5.14.2&#xff08;没安装到5.15.7&#xff09;&#xff0c;git&#xff0c;cmake3.31&#xff0c;python3.7.9&#xff0c;ninja下载放到…...

微软PowerBI考试 PL300-选择 Power BI 模型框架【附练习数据】

微软PowerBI考试 PL300-选择 Power BI 模型框架 20 多年来&#xff0c;Microsoft 持续对企业商业智能 (BI) 进行大量投资。 Azure Analysis Services (AAS) 和 SQL Server Analysis Services (SSAS) 基于无数企业使用的成熟的 BI 数据建模技术。 同样的技术也是 Power BI 数据…...

Zustand 状态管理库:极简而强大的解决方案

Zustand 是一个轻量级、快速和可扩展的状态管理库&#xff0c;特别适合 React 应用。它以简洁的 API 和高效的性能解决了 Redux 等状态管理方案中的繁琐问题。 核心优势对比 基本使用指南 1. 创建 Store // store.js import create from zustandconst useStore create((set)…...

React Native 开发环境搭建(全平台详解)

React Native 开发环境搭建&#xff08;全平台详解&#xff09; 在开始使用 React Native 开发移动应用之前&#xff0c;正确设置开发环境是至关重要的一步。本文将为你提供一份全面的指南&#xff0c;涵盖 macOS 和 Windows 平台的配置步骤&#xff0c;如何在 Android 和 iOS…...

在鸿蒙HarmonyOS 5中实现抖音风格的点赞功能

下面我将详细介绍如何使用HarmonyOS SDK在HarmonyOS 5中实现类似抖音的点赞功能&#xff0c;包括动画效果、数据同步和交互优化。 1. 基础点赞功能实现 1.1 创建数据模型 // VideoModel.ets export class VideoModel {id: string "";title: string ""…...

2025 后端自学UNIAPP【项目实战:旅游项目】6、我的收藏页面

代码框架视图 1、先添加一个获取收藏景点的列表请求 【在文件my_api.js文件中添加】 // 引入公共的请求封装 import http from ./my_http.js// 登录接口&#xff08;适配服务端返回 Token&#xff09; export const login async (code, avatar) > {const res await http…...

【HarmonyOS 5 开发速记】如何获取用户信息(头像/昵称/手机号)

1.获取 authorizationCode&#xff1a; 2.利用 authorizationCode 获取 accessToken&#xff1a;文档中心 3.获取手机&#xff1a;文档中心 4.获取昵称头像&#xff1a;文档中心 首先创建 request 若要获取手机号&#xff0c;scope必填 phone&#xff0c;permissions 必填 …...

【开发技术】.Net使用FFmpeg视频特定帧上绘制内容

目录 一、目的 二、解决方案 2.1 什么是FFmpeg 2.2 FFmpeg主要功能 2.3 使用Xabe.FFmpeg调用FFmpeg功能 2.4 使用 FFmpeg 的 drawbox 滤镜来绘制 ROI 三、总结 一、目的 当前市场上有很多目标检测智能识别的相关算法&#xff0c;当前调用一个医疗行业的AI识别算法后返回…...

大数据学习(132)-HIve数据分析

​​​​&#x1f34b;&#x1f34b;大数据学习&#x1f34b;&#x1f34b; &#x1f525;系列专栏&#xff1a; &#x1f451;哲学语录: 用力所能及&#xff0c;改变世界。 &#x1f496;如果觉得博主的文章还不错的话&#xff0c;请点赞&#x1f44d;收藏⭐️留言&#x1f4…...

在web-view 加载的本地及远程HTML中调用uniapp的API及网页和vue页面是如何通讯的?

uni-app 中 Web-view 与 Vue 页面的通讯机制详解 一、Web-view 简介 Web-view 是 uni-app 提供的一个重要组件&#xff0c;用于在原生应用中加载 HTML 页面&#xff1a; 支持加载本地 HTML 文件支持加载远程 HTML 页面实现 Web 与原生的双向通讯可用于嵌入第三方网页或 H5 应…...

云原生安全实战:API网关Kong的鉴权与限流详解

&#x1f525;「炎码工坊」技术弹药已装填&#xff01; 点击关注 → 解锁工业级干货【工具实测|项目避坑|源码燃烧指南】 一、基础概念 1. API网关&#xff08;API Gateway&#xff09; API网关是微服务架构中的核心组件&#xff0c;负责统一管理所有API的流量入口。它像一座…...