6.10 谱分解

计算方法

  单纯矩阵normal matrix指的是符号$A^{T}A=A{A}^T$的矩阵，他们的特征值互异。此外，单纯矩阵还有个特点，他们的特征空间彼此正交。
  对于单纯矩阵，存在以下的谱定理Spectral theorem：

单纯矩阵可以分解为以下矩阵相加的形式：
$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i{v}_i^H$$
公式中，$v_i$是特征值${\lambda }_i$对应的单位特征向量。

  把矩阵分解为这种形式就是谱分解Spectral Decompostion。所以谱分解挺容易的，求出特征值和特征向量就行了。
  以下是一个矩阵谱分解的例子：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right) \\ =3\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

代码实现

  特征值可以用海森堡法求解，特征向量可以用齐次方程组求解的方法求得，最后注意单位化就行了。以下是python代码：

    # 谱分解def spectral_decomposition(self):# 求特征值from com.youngthing.mathalgorithm.linearalgebra.hessenberg import Matrix as Meigen_values = M(self.__vectors).eigen_values()spectral_matrices = []for i, e in enumerate(eigen_values):# 单纯矩阵的几何重数为1eigen_vector = self.eigen_vector(e)[0]vector_len = Matrix.vector_len(eigen_vector)eigen_vector = matrix_utils.mul_num(eigen_vector, 1 / vector_len)x = Matrix([eigen_vector])spectral_matrices.append(x * x.transpose_matrix())return eigen_values, spectral_matrices