神经网络激活函数

神经网络激活函数的定义

所谓激活函数（Activation Function），就是在人工神经网络的神经元上运行的函数，负责将神经元的输入映射到输出端。

激活函数（Activation functions）对于人工神经网络模型去学习、理解非常复杂和非线性的函数来说具有十分重要的作用。它们将非线性特性引入到我们的网络中。如图：

在神经元中，输入的 inputs 通过加权，求和后，还被作用了一个函数，这个函数就是激活函数。引入激活函数是为了增加神经网络模型的非线性。没有激活函数的每层都相当于矩阵相乘。就算你叠加了若干层之后，无非还是个矩阵相乘罢了。

为什么神经网络要用激活函数

如果不用激活函数，每一层输出都是上层输入的线性函数，无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合，这种情况就是最原始的感知机（Perceptron）。

如果使用的话，激活函数给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以应用到众多的非线性模型中。

神经网络激活函数的求导

对神经网络激活函数求导有一个特性，它的导函数始终都可以用原式表示出来，下面列举常用神经网络激活函数：

Sigmoid激活函数

表达式为：$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
函数图像如下：

其导函数：${\sigma }^{\prime }(x)=\frac{\partial }{\partial x}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+e^{-x}}\ast (1-\frac{1}{1+e^{-x}})=\sigma (x)\ast (1-\sigma (x))$

Tanh激活函数

表达式为：$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{2}{1+e^{-2x}}-1$

而我们的Sigma激活函数表达式为$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，所以Tanh激活函数可以用Sigma激活函数表示，即$tanh(x)=2\sigma (2x)-1$

Tanh 函数可以看作是放大并平移的 Sigmoid 函数，但因为是零中心化的 (zero-centered) ，通常收敛速度快于 Sigmoid 函数，下图是二者的对比：

其导函数：$tan{h}^{\prime }(x)=\frac{(e^x+e^{-x}{)}^2-(e^x-e^{-x}{)}^2}{(e^x+e^{-x}{)}^2}=1-\frac{(e^x-e^{-x}{)}^2}{(e^x+e^{-x}{)}^2}=1-tanh(x{)}^2$

Softmax激活函数

表达式：$y_i=softmax(z_i)=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^C{e}^{zj}}$

Softmax函数将多个标量映射为一个概率分布,$y_i$表示第i个输出值，即属于类别$i$的概率,所有类别概率加起来为1，即${\sum }_{i=1}^C{y}_i=1$，其中$z=W^{T}x$,表示线性方程，图中的$z_i$表示$z$的第i个元素的值。Softmax函数用于多分类，会对应多个方程。

首先求标量形式的导数，即第i个输出对于第j个输入的偏导数

其导函数：

这里就不在做过多的推导了，感兴趣的小伙伴可以去翻阅书籍哦