丢石子

I

一堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

思路：

任何正整数都可以表示为不连续斐波那契博数之和。

引理：如果m是斐波那契数，那么不超过m的所有斐波那契数中，选出若干个不连续的，能够得到的最大的和刚好就是m-1。

比如说，在1,2,3,5,8,里面，最大的和就是1+3+8=12，刚好是13-1。

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当n=2时，后手必赢；

当n=3时，后手必赢；

当n=4时，只要先手取1个，剩下3个，无论后手取多少个，先手必赢；

当n=5时，①若先手先取1个，剩下4个，此时后手掌握n=4这种局面，则后手必赢；②若先手取2个，根据规则，后手可以一次性取完剩下的3个，则后手必赢；所以先手无论怎么取，此时后手必赢。

当n=6时，先手只要取1个，先手就掌握了n=5这种局面，即先手必赢；

当n=7时，先手只要取2个，先手就掌握了n=5这种局面，即先手必赢；

当n=8时，①若先手取1个时，后手就掌握了n=7这种局面，即后手必赢；②若先手取2个时，后手就掌握了n=6这种局面，即后手必赢；③若先手取3个，根据规则，后手可以一次性取走剩下的5个，剩下的情况都是后手必赢；所以无论先手怎么取，此时后手必赢。

......

继续推导下去，我们可以发现，只要n满足斐波那契数列2，3，5，8，13......，则后手必赢，否则先手必赢。相关证明看这：斐波那契博弈

public boolean helper(int n){ int f1=1;int f2=2;int f3=3;while(n>=f3){f3=f1+f2;if(f3==n) return false;f1=f2;f2=f3;}return true;
}

II

一堆石子有n个,两人轮流取.每次取最少取1个,最多取m个。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win"

思路：

基础的巴什博奕
巴什博奕的重点是只有一堆，
如果n % (m + 1) != 0 则先手赢，如果用普通的数组会TLE。
证明：如果n = m + 1,先手最多拿m个，肯定有剩下的，所以先手必输，所以碰到k(m + 1)的局面的人必输。那么如果n = k(m + 1) + s，这个k 就是系数，s < m + 1,那么只要先手拿掉s个，这样后手面对的就是k(m + 1)局面，所以先手在n % (m + 1) != 0时必输。
 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int main()
{int m=0,n=0;while(~scanf("%d %d",&n,&m)){if(n%(m+1)==0){printf("Second win\n");}else{printf("First win\n");}}return 0;
}