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Python超矩形

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    • 距离函数
    • 矩形分割

Rectanglescipy.spatial中封装的类,其构造函数只需输入最小值和最大值的数组即可,并且可通过内置的 volume方法计算广义的体积。

from scipy.spatial import Rectanglerec = Rectangle((0,0), (5,5))
print(rec.maxes)    # [5. 5.]
print(rec.mins)     # [0. 0.]
print(rec.volume()) # 25
rec3 = Rectangle((0,0,0), (5,5,5))
print(rec3.volume())    # 125

距离函数

通过min_distance_point/max_distance_point可以计算某点到矩形内部的最近/最远距离

print(rec.min_distance_point((3,3)))
# 0.0
print(rec.max_distance_point((3,3)))
# 4.242640687119285

由于(3,3)在矩形内部,所以最小距离为0;而最大距离则位于(0,0)处。

通过min_distance_rectangle/max_distance_rectangle方法可以计算一个矩形和另一个矩形之间的最小/最大距离

rec2 = Rectangle((5,5),(10,10))
rec.max_distance_rectangle(rec2, 2)
# 14.142135623730951
rec.min_distance_rectangle(rec2, 2)
# 0.0

由于两个矩形存在交点,所以最近距离为0,而最远距离则在(0,0), (10,10)之间。

这4个距离函数均采用闵可夫斯基距离的定义,默认阶数为2,通过第二个参数p,可以修改距离的定义。对于点 x , y x,y x,y而言,具体的距离公式为

d p = ∑ i ∣ x i − y i ∣ p p d_p = \sqrt[p]{\sum_i \vert x_i-y_i\vert^p} dp=pixiyip

>>> rec.max_distance_point((3,3),1)
6.0

p=1时,表示曼哈顿距离,即 ∑ i ∣ x i − y i ∣ \sum_i |x_i-y_i| ixiyi,对于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)来说就是 3 + 3 = 6 3+3=6 3+3=6

矩形分割

通过split,可以对矩形进行分割,其输入参数有2,分别是分割所在坐标轴,以及该坐标轴处的刻度,效果如下

rec.split(0, 2)
(<Rectangle [(0.0, 2.0), (0.0, 5.0)]>, <Rectangle [(2.0, 5.0), (0.0, 5.0)]>)

由于Rectangle定义的超矩形可以有不同的维度,换言之,一维的矩形就是线段,三维的矩形就是立方体。一旦接受了这种设定,那么矩形分割就可以理解为线段分割,或者立方体分割。有了这个,就可以更加便捷地进行非线性寻优了。

scipy.optimize中,提供了DIRECT算法,运用的就是这种思想。

而在点云处理中使用更加频繁的八叉树,则是矩形分割更加直观的案例,open3d中实现了这种算法,以二维超矩形为例,则其运算流程可理解为四叉树。

仍以六个数据点作为研究对象:{(2,3), (5,4), (9,6), (4,7), (8,1), (7,2)},如果以 [ 0 , 10 ) [0,10) [0,10)为坐标空间,那么通过对这个空间四等分,可得到下左图

在这里插入图片描述=》在这里插入图片描述

令所有的分割都是左闭右开的,那么被分割后的四个区间中,除了右下角的方块包含三个点之外,剩下三个方块都只有一个点。只有一个点的方块显然就没法继续分割了,而第四个方块则可继续分割,得到右图。

这样,右下角的方块被继续分成了四个小方块,且每个小方块的元素都不超过一个,所以无法继续再分,四叉树也就完成了。

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