简单的无理函数的不定积分

前置知识：

• 直接积分法
• 有理函数的不定积分

简单的无理函数的不定积分

对无理函数积分的基本方法就是通过换元将其化为有理函数的积分。下面讲讲几类无理函数积分的求法。

注：$R(u,v)$是由$u,v$与常数经过有限次四则运算得到的有理式。

形如$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$的积分

求形如$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$的积分，其中$ad\ne bc$。

令$t^n=\frac{ax+b}{cx+d}$，则$x=\frac{d{t}^n-b}{a-c{t}^n}$，$dx=\frac{ad-bc}{(a-c{t}^n{)}^2}n{t}^{n-1}dt$，从而把原积分变换为有理函数的积分。

$$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx=\int R(\frac{d{t}^n-b}{a-c{t}^n},t)\cdot \frac{ad-bc}{(a-c{t}^n{)}^2}n{t}^{n-1}dt$$

例题

计算$\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1{)}^2}}dx$

解：
\qquad 令$t=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$，则$x=\frac{t^3+1}{t^3-1}$，$dx=-\frac{6t^2}{(t^3-1{)}^2}dt$，于是

\qquad 原式$=\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{x+1}dx=-\int t\cdot (\frac{1}{2}\cdot \frac{t^3-1}{t^3})\cdot \frac{6t^2}{(t^3-1{)}^2}dt$

$=-\int \frac{3}{t^3-1}dt=\int (-\frac{1}{t-1}+\frac{t+2}{t^2+t+1})dt$

$=-\ln |t-1|+\frac{1}{2}|t^2+t+1|+\sqrt{3}\arctan (\frac{2t+1}{\sqrt{3}})+C$

$=\frac{1}{2}\ln \frac{t^3-1}{(t-1{)}^3}+\sqrt{3}\arctan (\frac{2t+1}{\sqrt{3}})+C$

$=\frac{1}{2}\ln |\frac{\frac{2}{x-1}}{(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1{)}^3}|+\sqrt{3}\arctan [\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}]+C$

$=-\frac{1}{2}\ln |\frac{x-1}{2}|-\frac{3}{2}\ln |\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}-1|+\sqrt{3}\arctan [\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}]+C$

形如$R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$的积分

求形如$R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$的积分，其中$a\ne 0$。

这个无理式可以化为以下三种形式：

• $\int R(x,\sqrt{(x+p{)}^2+q^2})dx$
• $\int R(x,\sqrt{(x+p{)}^2-q^2})dx$
• $\int R(x,\sqrt{q^2-(x+p{)}^2})dx$

对这三种情况，可以由以下变换将它们化为三角有理式的积分：

• $x+p=q\tan t$
• $x+p=q\sec t$
• $x+p=q\sin t$

例题

计算$\int \frac{\sqrt{x^2-2x+2}}{x-1}dx$

解：
\qquad 令$x-1=\tan t$，则$\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{{\tan }^{2}t+1}=\frac{1}{\cos t}$，$\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$，于是

\qquad 原式$=\frac{1}{\sin t}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt=\int \frac{1}{({\cos }^{2}t-1){\cos }^{2}t}\cdot (-\sin t)dt$

$=\int (\frac{1}{{\cos }^{2}t-1}-\frac{1}{{\cos }^{2}t})d(\cos t)=\frac{1}{2}\ln |\frac{\cos t-1}{\cos t+1}|+\frac{1}{\cos t}+C$

$=\frac{1}{2}\ln |\frac{(\cos t-1{)}^2}{\cos t^2-1}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C=\frac{1}{2}\ln (\frac{1-\cos t}{\sin t}{)}^2+\sqrt{x^2-2x+2}+C$

$=\ln |\frac{\frac{1}{\cos t}-1}{\tan x}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C=\ln |\frac{\sqrt{x^2-2x+2}-1}{x-1}|+\sqrt{x^2-2x+2}+C$

总结

对于这些简单的无理函数的不定积分，要善于换元，将无理函数的不定积分转化为有理函数的不定积分，然后运用之前的知识来求解即可。