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四元数快速入门【Quaternion】

news 2025/9/20 4:49:28

四元数（Quaternion）是用于旋转和拉伸向量的数学运算符。本文提供了一个概述，以帮助理解在空间导航等应用程序中对四元数的需求。

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可以通过多种方式在空间中准确定位、移动和旋转物体。更熟悉和更容易可视化的滚动（Roll）、俯仰（Pitch）和偏航（Yaw）表示是有局限性的，在某些情况下应该用更强大的四元数代替。随着对象的位置和方向发生变化，称为四元数的数学工具可用于旋转和缩放原始矢量。

三维空间中的物体可以定位在一个坐标系中，三个数从坐标系的原点延伸到空间中的一点，创建一个位置 r=(x,y,z) 向量。如果对象的位置发生变化，向量将位于新的位置并且可能具有新的长度。我们需要一种方法来测量或计算两个向量之间的变化。

1、Roll/Pitch/Yaw表示法的问题

大多数读者可能都知道，在空间中旋转的物体可以用它们沿三个轴的旋转角度来描述。空间中的任何旋转都可以用这些旋转的组合来描述。
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万向节提供偏航、滚动和俯仰运动。

旋转轴并不总是独立的，解也不总是唯一的。两个万向节的平面可能会对齐，并且会发生称为万向节锁定（gimbal lock）的情况。在万向节锁定中，三个万向节中的两个是平行或非常接近平行的，最初的三个自由度（偏航、俯仰和滚动）减少到两个自由度——两个旋转轴可以描述相同的旋转运动。同时，失去了一个自由度，信息也消失了。一旦发生万向节锁定，就不可能在没有外部参考的情况下重新定向轴。

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当绿色圆圈与红色圆圈对齐或接近对齐时发生万向节锁定

你可能还记得在有关阿波罗 13 号任务的电影中听到过万向节锁定这个词。如果万向节锁定发生在爆炸之后，宇航员的惯性测量装置将无法追踪他们在天球中的位置，从而对他们本已绝望的处境产生负面影响。

现在来看看万向节锁背后的数学原理。

读者须知：为了保持在小型设备上的可读性，cos(x) 的所有实例都已替换为 Cx，sin(x) 的所有实例均已替换为 Sx。

围绕单个轴旋转一个矢量 r=(x,y,z) 需要一个旋转矩阵。上图的三轴云台有三个轴对应三个旋转矩阵。

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上面的三个矩阵分别表示：绕x 轴旋转角度 γ，绕y 轴旋转角度 β，绕z 轴旋转角度 α 。

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上面显示的是三个独立的 3×3 变换矩阵。（围绕 z-y-z 旋转 α、β、γ 角度的变换）

从数学上讲，3×3 旋转矩阵是三个连续旋转的乘积。
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3×3 矩阵连续相乘时会产生一个 3×3 矩阵。上面显示的是围绕 z-y-z 旋转角度 α、β、γ 。

存在多个转换矩阵，它们可以以各种顺序应用。十二个旋转序列可以分为两类：

欧拉角：其中一个旋转轴重复（x-z-x，x-y-x，y-x-y，y-z-y，z-y-z，z-x-z）
泰特-布赖恩角，围绕所有轴（x-z-y， x-y-z、y-x-z、y-z-x、z-y-x、z-x-y）旋转

我任意选择了 z-y-x 变换矩阵来处理下面的示例。

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上图是围绕α、β、γ旋转z-y-x的变换矩阵。

当使用 β =π/2 代入 z-y-x 变换矩阵时，万向节锁在我们的示例矩阵中在数学上变得明显（其他变换矩阵在不同条件下失败）。随着角度 β →π /2 以及 sin(β)→0 ，您可以在下面看到对矩阵的简化效果。
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上面的矩阵中将π /2 带入β ，得到
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可以看到，当 β 接近 π/2 时， cos(π/2) 导致矩阵中的几项变为零。

另一种看待问题的方法是采用原始变换矩阵（我再次选择 z-y-x）并使用三角恒等式将三角函数内的变量聚集在一起。注意角度的初始相互依赖性。
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替换后，角度之间唯一存在的关系是 α + γ 。
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通过固定 β = π/2 ，我们已经消除了 α−γ 的所有情况，牺牲一定程度的自由度。

虽然很容易想象滚动、俯仰和偏航，但如果你正在设计一个能够自由指向空间中任何方向的系统，最终会遇到万向节锁定。

2、四元数

威廉·汉密尔顿于 1843 年发明了四元数，作为一种允许他对向量进行乘法和除法、旋转和拉伸的方法。

我在下面提出的内容旨在说明，但绝不是数学上严格的。它应该足以让你在计算机科学和工程环境的入门级理解四元数。对于数学课来说，这并不意味着就足够了。如果你需要更深入的信息，加利福尼亚州立大学富勒顿分校物理学和数学教授 Alfonso Agnew 博士推荐了以下有关该主题的书籍：

四元数和旋转序列：在轨道、航空航天和虚拟现实中的应用入门 (Kupiers)
Clifford 代数和旋量 (Lounesto)
可视化四元数 (Hanson)

汉密尔顿的发现是，虽然没有明显的方法可以将两组三个数字相乘并除以得到三个数字（可能代表坐标的向量），但可以将两组四个数字相乘并相除并得到四个数字。四元数是两组四个数的商，由一个标量和一个向量组成。

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其中，
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为实数，且
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为四元数单位。

任意两点之间的方向可以用三个数表示，这三个数分别位于 (-1,1) 范围内，其总大小为 (-1 ≤ x ≤1, -1 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ z ≤ 1)并且 √x^2+y2+z^2 = 1 。这四个数字一起创建了一个描述旋转和距离的四元数。
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四元数提供旋转向量所需的信息，只需四个数字而不是旋转矩阵所需的九个数字。

如果你熟悉数学和矩阵符号，请跳至下面的四元数数学，并跳过接下来两节中复数和矩阵数学的复习。

3、复数

参见 AAC 教科书第 2 卷 — 第 2 章。

发明复数是为了解决没有实数解的问题。在发明 √-1 之前， x^2 = -1这类问题始终无解。复数可以想象成位于一个平面上，数的实部沿水平轴表示，数的虚部沿垂直轴表示。在笛卡尔坐标中，它们通常以类似于 x+yi 或 (x,y) 的形式表示。两个复数可以相加、相减、相乘和相除。

相加：
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相减：

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相乘：
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相除：
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无缩放旋转：

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一个例子是 2+3i 逆时针旋转π/2 可以通过与 0+i 相乘得到：
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欧拉开发了一种在复数极平面中旋转复数的方法，汉密尔顿以此为基础建立了他的想法。
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虽然这远非对复数主题的完整处理，但它通过以下方式为四元数提供了一个垫脚石：

复数可以很容易地进行加、减、乘和除，而无需使用三角函数（尽管复数可以用极坐标形式表示或从极坐标形式分别用 cos 和 sin 分解为实部和虚部）。
将复数乘以虚数单位“i”产生四分之一圈。与四元数类似，将任意两个四元数单位相乘将导致围绕垂直于两个初始轴的轴旋转。

4、矩阵数学

标量

标量是表示沿公共比例尺或轴的位置的数字。标量变量没有应用于它们的特殊格式。

向量

向量是一个有序数字的列表，描述了在特定方向上沿尺度的位置。它被可视化为具有长度和方向的直线。本文中矢量变量以粗体 r 显示,偶尔会使用上标箭头。向量可以有两个或更多元素。
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多个向量通过不同的变量名或下标来区分。

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或者

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叉积

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点积

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长度

矢量的长度是从起点到终点的直线距离。在数学上，它是单个元素平方和的平方根。

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矩阵

矩阵是单个元素的数组，可以乘以向量以对其进行转换。矩阵可以平移、旋转和缩放向量。下面显示的是一个通用的 3×3 矩阵

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矩阵应用于向量

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旋转矩阵

旋转矩阵可以改变向量指向的方向，在空间中重新定向它们。以下矩阵围绕笛卡尔轴旋转向量而不缩放它们。

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矩阵A与B相乘

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本节简要回顾向量和矩阵数学，并与下面的四元数规则进行对比。

5、四元数

如前所述，四元数由一个标量和一个向量组成。

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由于标量和向量都存在于四元数中，因此用于处理它们的数学规则是标量和向量数学的组合。
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（非交换）四元数乘法

两个四元数相乘的结果是一个新的四元数。

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四元数内积

四元数内积是两个四元数对应的实系数相乘得到的标量。
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四元数共轭（Conjugate）

每个四元数都有一个相反数，可以通过仅对四元数的向量部分的系数求反来找到。
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四元数范数（Norm）

四元数通常应始终位于单位球面上。范数应等于 1。如果你的四元数偏离单位球体，可以将四元数的每个元素除以范数以返回单位球体。

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四元数转旋转矩阵

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6、结束语

四元数是使用一组有序的四个数字来描述 3D 空间中的方向或旋转的另一种方法。它们能够唯一地描述围绕任意轴的任何三维旋转，并且不会受到万向节锁定的影响。如果你的应用程序中的传感器或物体能够在 3D 空间中的任何位置移动，那么它们在跟踪物体方面优于欧拉角。

原文链接：四元数快速指南 - BimAnt