如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

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首先快速回忆一下正交矩阵的定义：
        A为n阶实矩阵，且满足A‘A=E或是说AA’=E，那么A为正交矩阵。

       （啊，多么简洁的定义）

其次快速想到它的性质：
        ① 实特征值必然  或 其他复数

        ② 正交矩阵的行向量或列向量相互直接是正交的

        ③ 正交矩阵的模为1，这个很显然，给上面AA’或A’A等式两边去行列式，开平方加绝对值必然等于1

        ④ 正交阵的乘积仍然为正交阵，这个也很容易。马上来一个正交阵B，有B’B=E，那么A’A=E，给包上一层B’A’AB=B’EB=B’B=E，OK！轻而易举有正交阵AB，证毕。

        ⑤ 同时行向量或列向量的模也必然为1，这里还能推出各个元素必定小于等于1。

来个例子吧，这样更通俗易懂：

 

很明显了吧，直接明晰结论5。

如何快速给出解释——正交矩阵子矩阵的特征值的模必然不大于1

快速回忆完了，接下来就来到我们的主题：

开证，

        假设有一个n>2阶的正交矩阵A，有随便一个子方阵C（C必定存在于A中）

        记录C为s×s矩阵，其中C有一个模大于1的特征值u（复数），不妨记起特征向量为X.

        先将A做初等变换，使这个子矩阵C在对角线上。

        那么这一系列初等变换的矩阵记为D，D必然为正交阵。为啥捏？初等变换就三种，因为移到

        对角线只用平移这一种，不涉及到乘数，从单位阵再对角回去的角度，乘以转置的D必然为单

        位阵E。

        那么由上面结论③，AD为正交阵，

        不妨记现在：
        

        同时，AD的前n行s列我们单独拿出来。

        由结论②有（C, V）’（C, V）=E，暂记（C, V）为矩阵

        为H每个元素都去共轭之后的矩阵（跟共轭矩阵不是一回事哈）。显然对于实矩阵AD而言，H=。这里引的目的是 的引出。

                    

        这大串变换后，我们只需要首和尾：
        而VX是(n-s)×1实阵，相乘则每个元素相当于原元素平方必然≥0，同理：

        

        

        

        故特征值u的模不可能大于1。