非线性方程二分法

非线性方程二分法

优点：算法直观、简单、总能保证收敛；局限：收敛速度慢、一般不单独用它求根，仅为了获取根的粗略近似

1 二分法基本思想

设$f(x)$在$[a,b]$上连续、严格单调、满足条件
$$f(a)f(b)<0$$
则在区间$[a,b]$内必有一根$x^{\ast }$。通过反复对分有根区间，以极限思想求解出非线性方程的数值解。具体步骤如下：

• 取$[a,b]$的中点$x_0=(a+b)/2$，计算$f(x_0)$，当
  • $f(a)f(x_0)<0$，则令$a_1=a,b_1=x_0$;
  • $f(x_0)f(b)<0$，则令$a_1=x_0,b_1=b$;

通过重复上述步骤，得到一系列有根区间
$$[a,b]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots \supset \dots$$
由于后一个区间长度是前一个区间的一半，通过递归公式求解出区间长度的通项公式
$$b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$$
当$k\to \infty$时，$||b_k-a_k||\to 0$，此时序列 { a k } , { b k } , { x k } → x ∗ \{a_k\},\{b_k\},\{x^k\} \to x^* {ak​},{bk​},{xk}→x∗，其中
$$x^{\ast }=\frac{a_k+b_k}{2}$$
由于方程根和中点间的距离真包含于$[a_k,b_k]$，故收敛速度
$$0\le |x^{\ast }-x_k|\le (b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}$$
当$k\to \infty$时，利用夹逼定理
$$\underset{k\to \infty }{\lim }0\le \underset{k\to \infty }{\lim }|x^{\ast }-x_k|\le \underset{k\to \infty }{\lim }(b-a)/2^{k+1}=0$$
故有$x^k\to x^{\ast }$。给定终止条件$\epsilon$，当
$$(b-a)/2^{k+1}<\epsilon$$
时，可求出满足精度$\epsilon$的最少二分次数$k$。

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2 二分法实现

求解：
$$f(x)=2^x+x-2$$

function[xstar,index,it] = bisect(fun,a,b,ep)
% 非线性方程二分法
% fun为目标函数
% a,b为初始区间
% ep为精确度，当(b-a)/2<ep循环结束，迭代失败输出两端点函数值
% index指标变量，index = 1，迭代成功，index  = 0表明初始区间不是有根区间
% it迭代次数
if nargin < 4ep = 1e-5;
end
fa = feval(fun,a); %计算a处的函数值
fb = feval(fun,b); %计算b处的函数值
if fa*fb>0xstar = [fa,fb];index = 0;it = 0;return
end
k = 0;
while abs(b-a)/2 >= epx = (a+b)/2;fx = feval(fun,x);if fx*fa<0b = x;fb = fx;elsea = x;fa = fx;endk = k +1;
end
xstar = (a+b)/2;index = 1;it = k
%具体函数
function f = fun1(x)
%测试函数
f = 2^x+x-2;  %任意可改
endformat long
[xstar,index,it] = bisect(@fun1,0,2,0.0000001)

xstar = 0.543000400066376

index = 1

it = 24

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参考文献

曾繁慧. 数值分析[M]. 中国矿业大学出版社,2009