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GAMES101-计算机图形学入门 LEC4: TRANSFORMATION-3D

news 2025/7/5 6:04:59

本节课程视频地址：https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744/?p=4

补充上一节课的一个内容，旋转矩阵的逆矩阵是它的转置，也就是说有 $R−θ=Rθ−1=RθTR_{-\theta} = R_\theta^{-1}=R_\theta^T$

上节课讲了，二维变换中的绕原点的旋转、缩放、切变，以及齐次坐标，还有通过简单变换组合成复杂变换。

这节课先讲三维变换，然后讲困难且重要的观测变换（Viewing Transformation）

文章目录

三维变换（3D Transformation）
- 缩放
- 平移
- 旋转
- Rodrigues 旋转公式
观测变换 (Viewing transformation)
- 视图变换 (View transformation)
- 投影变换（Perspective Projection）
- - 正交投影
  - 透视投影

三维变换（3D Transformation）

三维的齐次坐标：

点： $x,y,z,1)^T$
向量： $x,y,z,0)^T$

注：(x,y,z,w)其中w!=0 表示的是点(x/w,y/w,z/w)

齐次坐标使用4维矩阵来表示仿射变换：
$[x′y′z′1]=[abctxdeftyghitz0001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a&b&c&t_x\\ d&e&f&t_y\\ g&h&i&t_z \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$
注：仿射变换中是先线性变换（也就是绕原点所作的变换）再平移变换。

缩放

$[x′y′z′1]=[sx0000sy0000sz00001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s_x&0&0&0\\ 0&s_y&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

平移

$[x′y′z′1]=[100tx010ty001tz0001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

旋转

三维的旋转分为绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转。

$Rx(α)=[10000cosα−sinα00sinαcosα00001]R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\alpha&-sin\alpha&0\\ 0&sin\alpha&cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\\$
$Ry(α)=[cosα0sinα00100−sinα0cosα00001]R_y(\alpha) = \begin{bmatrix} cos\alpha&0&sin\alpha&0\\ 0&1&0&0\\ -sin\alpha&0&cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$
$Rz(α)=[cosα−sinα00−sinαcosα0000100001]R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} cos\alpha&-sin\alpha&0&0\\ -sin\alpha&cos\alpha&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

注意旋转矩阵 $Ry(α)R_y(\alpha)$ 的 $sinαsin\alpha$ 的正负号是和另外两个相反的。其实没有反，因为这是一个右手系的坐标轴，绕x轴逆时针旋转的方向是在y0z平面中y轴旋转到z轴的方向，绕z轴旋转的方向是在x0y平面中x轴旋转到y轴的方向，而绕y轴旋转的方向在z0x平面中是从z轴旋转到x轴的方向。以x0y平面的旋转为例： $xcos\alpha - ysin\alpha$ ，即要得到 $x^{'}$ 需要乘上y轴原始坐标的 $−sinα-sin\alpha$ 。所以在z0x平面内，要得到z轴所在坐标： $zcos\alpha - xsin\alpha$ 。清晰的记忆方法，以绕x轴旋转为例，绕x轴旋转在y0z平面内是从y轴到z轴的方向， $y\cos\alpha - z\sin\alpha$ 即转离y轴的方向就减，$z’ = z\cos\alpha + y\sin\alpha $ 即朝z轴转的方向就加。

Rodrigues 旋转公式

绕旋转轴 $n⃗\vec{n}$ 旋转角度 $α\alpha$ ：

形式一：
$R(n⃗,α)=cos(α)I+(1−cos(α))n⃗⋅n⃗T+sin⁡α⋅[0−nznynz0−nx−nynx0]R(\vec{n},\alpha)=cos(\alpha) I + (1-cos(\alpha)) \vec{n}\cdot \vec{n}^T + \sin\alpha\cdot \begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \\ \end{bmatrix}$
形式二：
$R(n⃗,α)=I+sin⁡α⋅[0−nznynz0−nx−nynx0]+(1−cos(α))⋅[0−nznynz0−nx−nynx0]2R(\vec{n},\alpha)= I + \sin\alpha\cdot \begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \\ \end{bmatrix} + (1-cos(\alpha))\cdot{\begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \\ \end{bmatrix}}^2$

证明：

https://www.cnblogs.com/wtyuan/p/12324495.html

观测变换 (Viewing transformation)

视图变换 (View transformation)

什么是视图变换

想象一下拍照：

首先要找一个好的背景，把人的位置和人与背景的相对位置安排好（模型变换）；
然后要找一个好的角度（视图变换）；
最后按快门（投影变换）。

定义相机：

位置向量 Postion: $e⃗\vec{e}$
朝向 Look-at direction: $g⃗\vec{g}$
相机向上的方向 Up direction (垂直于朝向) : $t⃗\vec{t}$

在这里插入图片描述

约定：相机永远放在原点，相机永远以+y为向上方向，相机永远朝-z方向看。 也就是进行视图变换时要将所有对象和相机一起做变换，直到相机在原点，朝向-z，以+y为正方向。
在这里插入图片描述

如何将相机从它原来的位置移到约定位置

平移 $e⃗\vec{e}$ 到原点；
旋转 $g⃗\vec{g}$ 到 -z 方向；
旋转 $t⃗\vec{t}$ 到 +y 方向
旋转 $g⃗×t⃗\vec{g} \times \vec{t}$ 到 +x 方向

如何求出将相机旋转到约定位置的旋转矩阵？

先平移到原点:
$Tview=[100−xe010−ye001−ze0001]T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

再考虑它的逆旋转，找到三个特殊向量的旋转，即 $x^\hat{x}$ 到 $g^×t^\hat{g} \times \hat{t}$ , $y^\hat{y}$ 到 $t^\hat {t}$ ， $z^\hat{z}$ 到 $−g^-\hat{g}$ ，就能找到这个逆旋转的旋转矩阵：

$Rreview−1=[xg^×t^xt^x−g^0yg^×t^yt^y−g^0zg^×t^zt^z−g^00001]R_{review}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_{\hat{t}} & x_{-\hat{g}} & 0\\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{t}} & y_{-\hat{g}} & 0\\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{t}} & z_{-\hat{g}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
旋转矩阵是正交矩阵，上面这个矩阵显然符合，旋转矩阵的逆矩阵就是它的转置：
$Rreview=[xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xt^yt^zt^0x−g^y−g^z−g^00001]R_{review} = \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_{\hat{t}} & y_{\hat{t}} & z_{\hat{t}} & 0 \\ x_{-\hat{g}} & y_{-\hat{g}} & z_{-\hat{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

总结：将所有对象和相机一起做变换，直到相机在原点，朝向-z，以+y为正方向。

这就是视图变换。

投影变换（Perspective Projection）

正交投影（Orthographic projection）

透视投影（Perspective projection）

区别：正交投影没有近大远小而透视投影有。

在这里插入图片描述

正交投影

做法一：

假设已经进行了视图变换（即相机在原点，朝向-z，以+y为向上方向）

第一步，把所有点的z坐标变为0；

第二步，将得到的二维平面坐标做平移和缩放，让它们装在 $1,-1]^2$ 这个正方形里。（至于为什么要进行这一步操作，这是一个约定俗成的办法，可以方便之后的操作）

做法二：(正规做法）

实际的计算机图形学操作中，还有一个比简单地把z扔掉更方便的做法：

同样，假设已经进行了视图变换（即相机在原点，朝向-z，以+y为向上方向）

假设此时所有物体装在一个 $r]\times[b,t] \times [f, n]$ 的长方体内，将这个长方体映射到 $1, 1]^3$ 的正方体：

在这里插入图片描述
先平移，再缩放：
$Mortho=[2r−l00002t−b00002n−f00001][100−r+l2010−t+b2001−n+f20001]M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0& 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

透视投影

回顾齐次坐标的一个重要性质：

$(x, y, z, 1)$ 表示一个点，

$(k x, k y, k z, k! = 0)$ 也表示该点，

$xz,yz,z^2,z!=0)$ 也表示该点。

做法：

将一个截头锥体，“挤压”到一个长方体：
在这里插入图片描述
如何“挤压”呢？
提前告诉你，这个“挤压”可以用一个矩阵表示，一般叫投影变换矩阵，那么这个矩阵怎么求呢？

观察，该“挤压”的特点：
x坐标和 y坐标很明显有相似关系
在这里插入图片描述
$\frac{n}{z}y,\ \ \ x' = \frac{n}{z}x$
z坐标怎么变目前还不知道，用齐次坐标表示：
$[xyz1]→[nx/zny/zunknown1]==[nxnyunknownz]\begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} nx/z\\ny/z\\unknown\\1 \end{bmatrix} == \begin{bmatrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{bmatrix}$
这样已经可以得到这个变换矩阵的一大部分了：
$Mpersp→ortho=[n0000n00????00n0]M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & n & 0 \end{bmatrix}$

那么该矩阵的第三行怎么求？

利用两点：

近平面上的点不会发生改变
$[xyn1]→[xyn1]==[nxnyn2n]\begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix} == \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n^2\\ n \end{bmatrix}$
因为 $n^2$ 与 $x$ 无关，所以第三行的第一个和第二个元素是0，也就是说对于透视投影矩阵的第三行有：
$[00AB][xyn1]=n2\begin{bmatrix} 0&0&A&B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix}=n^2$
远平面上与z轴相交的点不会改变
$[00f1]→[00f1]==[00f2f]\begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix}== \begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix}$
也就是：
$[00AB][00f2f]=f2\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix} = f^2$

可以建立方程组求解A和B了：
$An+B=n^2\\ Af+B=f^2$
解得
$n+f,\ \ \ B= -nf$

得到该矩阵为：
$Mpersp→ortho=[n0000n0000n+f−nf00n0]M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & n & 0 \end{bmatrix}$

最后
$Mpersp=MorthoMpersp→orthoM_{persp} = M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho}$

问题：对于截头锥体中间的点，它的z坐标怎么变？

$[n0000n0000n+f−nf00n0][xyz1]=[nxnynz+fz−nfz]\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & n & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} nx\\ny\\nz+fz-nf\\z \end{bmatrix}$

记
$\frac{nz+fz-nf}{z}-z = \frac{1}{z}[-z^2+(n+f)z -nf]$
对于中括号中的二次函数，开口向下，且两个零点为z=f和z=n，所以中括号中的二次函数在f<n<z这个区间里大于0，又z<0，所以f(z)小于0，即z的坐标会变小(朝远平面方向变）。