K类函数和KL类函数

Class $\mathcal{K}$ function- $\mathcal{K}$类函数

Definition: A continuous function $\alpha :[0,a)\to [0,\infty )$ is said belong to class $\mathcal{K}$ if it strictly increasing and $\alpha (0)=0$. It is said to belong to class ${\mathcal{K}}_{\infty }$ if $a=\infty$ and $\alpha (r)\to \infty$ as $r\to \infty$.

译：如果连续函数 $\alpha :[0,a)\to [0,\infty )$ 严格递增且满足 $\alpha (0)=0$，则 $\alpha$ 属于 $\mathcal{K}$ 类函数。进一步，如果 $a=\infty$ 且当 $r\to \infty$ 时有 $\alpha (r)\to \infty$ 成立，则 $\alpha$ 属于 ${\mathcal{K}}_{\infty }$ 类函数。

Class $\mathcal{K}\mathcal{L}$ function- $\mathcal{K}\mathcal{L}$类函数

Definition: A continuous function $\beta :[0,a)\times [0,\infty )\to [0,\infty )$ is said belong to class $\mathcal{K}\mathcal{L}$ if, for each fixed $s$, the mapping $\beta (r,s)$ belongs to class $\mathcal{K}$ with respected to $r$ and, for each fixed $r$, the mapping $\beta (r,s)$ is decreasing with respected to $s$ and $\beta (r,s)\to 0$ as $s\to \infty$.

译：对于连续函数 $\beta :[0,a)\times [0,\infty )\to [0,\infty )$，如果对于每个固定的 $s$，映射 $\beta (r,s)$ 都是关于 $r$ 的 $\mathcal{K}$ 类函数, 而对于每个固定的 $r$，映射 $\beta (r,s)$ 是关于 $s$ 的递减函数，且当 $s\to \infty$ 时 $\beta (r,s)\to 0$，则 $\beta$属于 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 类函数。

参考文献

【1】Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, 3 edition, page 144.