超螺旋滑模控制(STA)

超螺旋滑模控制(Super Twisting Algorithm, STA)

超螺旋滑模控制又称超扭滑模控制，可以说是二阶系统中最好用的滑模控制方法。

系统模型

对于二阶系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f+g\cdot u\end{array}$$
与传统滑模相比，超螺旋滑模，使用积分来获取实际控制量，不含高频切换量，所以系统中没有抖振。

令滑模面为s，只要满足以下的方程，即为稳定
$$\{\begin{array}{l}\dot{s}=-\lambda |s{|}^{\frac{1}{2}}\cdot sign(s)+\nu \\ \dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)\end{array}$$

控制器设计

设状态 $x_1$ 的期望值为 $x_d$ ，则跟踪误差为
$$\{\begin{array}{l}{e}_1=x_1-x_d\\ e_2={\dot{e}}_1={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_d=x_2-{\dot{x}}_d\end{array}$$
设计滑模面为
$$s=c{e}_1+e_2$$
则滑模面的导数为
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =c{\dot{e}}_1+{\dot{e}}_2\\ & =c{\dot{e}}_2+f+g\cdot u-{\ddot{x}}_d\\ & =-\lambda |s{|}^{\frac{1}{2}}\cdot sign(s)+\nu \\ & =-\lambda |s{|}^{\frac{1}{2}}\cdot sign(s)-\alpha \cdot sign(s)\end{array}$$
可以得到控制量
$$u=g^{-1}(-f+{\ddot{x}}_d-c_1{e}_2-\lambda |s{|}^{\frac{1}{2}}sign(s)-\alpha \cdot sign(s))$$
参数设定为
$$\begin{array}{rl}\dot{\lambda }& ={\omega }_1\sqrt{\frac{{\gamma }_1}{2}}\\ \alpha & =\lambda \epsilon +\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)\end{array}$$
式中，$\alpha ,\beta ,\epsilon ,{\omega }_1,{\gamma }_1$ 均大于0。

稳定性证明

可以看出，控制量中含有的不再是滑模面，而是多项式 $|s{|}^{\frac{1}{2}}$ 。除此之外，在 $\dot{s}$ 中还出现了另一个参数 $\nu$ ,不妨把这两者定义为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。
$$\{\begin{array}{l}{z}_1=|s{|}^{\frac{1}{2}}\\ z_2=\nu \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2}|s{|}^{-\frac{1}{2}}\dot{s}=\frac{1}{2}|s{|}^{-\frac{1}{2}}(-\lambda |s{|}^{\frac{1}{2}}\cdot sign(s)-\alpha \cdot sign(s))\\ {\dot{z}}_2=\dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)\end{array}$$
将第一项带入第二项
$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2|z_1|}(-\lambda z_1+z_2)\\ {\dot{z}}_2=\dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)=-\alpha \cdot sign(s)|s{|}^{\frac{1}{2}}|s{|}^{-\frac{1}{2}}=-\alpha \frac{z_1}{|z_1|}\end{array}\\ & \Rightarrow \\ & \{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2|z_1|}(-\lambda z_1+z_2)\\ {\dot{z}}_2=-\alpha \frac{z_1}{|z_1|}\end{array}\end{array}$$
设置新的状态变量为
$$Z=\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]$$
设置李雅普诺夫函数为
$$V_0=Z^{T}PZ=(\beta +4{\epsilon }^2)z_1^2+z_2^2-4\epsilon z_1{z}_2$$
其中$P$ 为
$$P=\left[\begin{array}{cc}\beta +4{\epsilon }^2& -2\epsilon \\ -2\epsilon & 1\end{array}\right]$$

李雅普诺夫函数的导数

对李雅普诺夫函数进行求导
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_0& =2(\beta +4{\epsilon }^2)z_1{\dot{z}}_1+2z_2{\dot{z}}_2-4\epsilon {\dot{z}}_1{z}_2-4\epsilon z_1{\dot{z}}_2\\ & =2(\beta +4{\epsilon }^2)z_1(\frac{1}{2|z_1|}(-\lambda z_1+z_2))+2z_2(-\alpha \frac{z_1}{|z_1|})-4\epsilon (\frac{1}{2|z_1|}(-\lambda z_1+z_2))z_2-4\epsilon z_1(-\lambda z_1+z_2)\\ & =-\frac{1}{|z_1|}{Z}^{T}QZ\end{array}$$
其中 $Q$ 为
$$Q=\left[\begin{array}{cc}-4\alpha \epsilon +\lambda (\beta +4{\epsilon }^2)& -\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)+\alpha -\lambda \epsilon \\ -\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)+\alpha -\lambda \epsilon & 2\epsilon \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$$
这样我们得到李雅普诺夫函数
$${\dot{V}}_0=-\frac{1}{|z_1|}{Z}^{T}QZ$$
求 $Q$ 的特征根
$$|pI-Q|=\left|\begin{array}{cc}p-A& B\\ C& p-D\end{array}\right|=p^2-(A+D)p+AD-BC=0$$
解方程组解得特征根为
$$\{\begin{array}{l}{p}_{max}(Q)=\frac{A+D+\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}\\ p_{min}(Q)=\frac{A+D-\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}\end{array}$$
所以
$$p_{min}(Q)Z^{T}Z=\frac{A+D+\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}(z_1^2+z_2^2)$$

$$Z^{T}QZ=A{z}_1^2+(B+C)Z_1{Z}_2+D{z}_2^2$$

比较 $p_{min}(Q) Z^T Z $与$Z^TQZ$的大小，为了简便运算，将根号项用 $R$ 表示
$$\begin{array}{rl}{D}_{val}& =2(Z^{T}QZ-p_{min}(Q)Z^{T}Z)\\ & =(A-D+R)z_1^2+(D-A+R)z_2^2+2(B+C)z_1{z}_2\\ & =(A-D+R)\left[z_1^2+\frac{(D-A+R)}{(A-D+R)}{z}_2^2+\frac{2(B+C)}{(A-D+R)}{z}_1{z}_2\right]\\ & =(A-D+R)\left[z_1^2+\frac{(D-A+R)(D+R-A)}{(A-D+R)(D+R-A)}{z}_2^2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{(A-D+R)(R+D-A)}{z}_1{z}_2\right]\\ & =(A-D+R)\left[z_1^2+\frac{(D+R-A{)}^2}{4BC}{z}_2^2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}{z}_1{z}_2\right]\\ & =(A-D+R)\left[z_1^2+\frac{(D+R-A{)}^2}{4BC}{z}_2^2+\sqrt{\frac{(D+R-A{)}^2}{4BC}}{z}_1{z}_2\sqrt{\frac{(D+R-A{)}^2}{4BC}}{z}_1{z}_2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}{z}_1{z}_2\right]\\ & =(A-D+R)\left[(z_1+\frac{D+R-A}{2\sqrt{BC}}{z}_2{)}^2+\frac{(2B+2C-4\sqrt{BC})(R+D-A)}{4BC}{z}_1{z}_2\right]\end{array}$$
上式中
$$R+A-D=\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}+(A-D)\ge 0$$

$$(z_1+\frac{D+R-A}{2\sqrt{BC}}{z}_2{)}^2\ge 0$$

$$\{\begin{array}{l}2B+2C-4\sqrt{BC}\ge 0\\ R+D-A=\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}+(D-A)\ge 0\end{array}\Rightarrow \frac{(2B+2C-4\sqrt{BC})(R+D-A)}{4BC}\ge 0$$

所以我们得到
$$Z^{T}QZ\ge p_{min}(Q)Z^{T}Z$$
同理可证
$$Z^{T}QZ\le p_{max}(Q)Z^{T}Z$$

李雅普诺夫函数导数的变换

上式是根据 ${\dot{V}}_0=-\frac{1}{|z_1|}{Z}^{T}QZ$ 做出的，对于 $V_0=Z^{T}PZ$ 同样根据上式可得

向量的0范数，向量中非零元素的个数
向量的1范数，向量中各元素绝对值的模
向量的2范数，通常意义上的模值，欧几里得范数
向量的无穷范数，向量的最大值

矩阵的1范数，列和范数，所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
矩阵的2范数，谱范数，即 $A^{T}A$矩阵的最大特征值的开平方
矩阵的无穷范数，行和范数，所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
矩阵的F范数，Forbenius范数，所有矩阵元素绝对值的平方和再开放

$$\begin{array}{c}{Z}^{T}PZ\ge p_{min}(P)Z^{T}Z\\ \Rightarrow (Z^{T}PZ{)}^{1/2}\ge p_{min}^{1/2}(P)(Z^{T}Z{)}^{1/2}=p_{min}^{1/2}(P)\Vert Z\Vert \\ \Rightarrow \Vert Z\Vert \le \frac{(Z^{T}PZ{)}^{1/2}}{p_{min}^{1/2}(P)}=\frac{V_0^{1/2}}{p_{min}^{1/2}(P)}\end{array}$$

$Z$的欧几里得范数为
$$\Vert Z\Vert =\sqrt{z_1^2+z_2^2}=\sqrt{(|s{|}^{\frac{1}{2}}sign(s){)}^2+{\nu }^2}=\sqrt{|s|+\nu }\ge \sqrt{|s|}=|z_1|$$
所以
$$-\frac{1}{|z_1|}\le -\frac{1}{\Vert Z\Vert }$$
我们再次回到 ${\dot{V}}_0$
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_0& =-\frac{1}{|z_1|}{Z}^{T}QZ\le -\frac{1}{|z_1|}{p}_{min}(Q)Z^{T}Z\\ & =-\frac{1}{|z_1|}{p}_{min}(Q)\Vert Z{\Vert }^2\le -\frac{1}{\Vert Z\Vert }{p}_{min}(Q)\Vert Z{\Vert }^2\\ & =-p_{min}(Q)\Vert Z\Vert \le -p_{min}(Q)\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{min}^{\frac{1}{2}}(P)}\\ & =-r{V}_0^{\frac{1}{2}}\end{array}$$
其中
$$r=\frac{p_{min}(Q)}{p_{min}^{1/2}(P)}$$

若系统满足 $\dot{V}\le -r{V}^{\frac{1}{2}}$ 其中$r>0$ ，则系统可以在有限时间内稳定

矩阵Q正定性的保证

上面的证明保证了系统具有李雅普诺夫稳定性，但是只有在$r>0$的情况下才能保证系统稳定，此时需要 $p_{min}(Q)$

与 $p_{min}^{1/2}(P)$ 保持同号，由于矩阵$P$为正定矩阵，所以$p_{min}^{1/2}(P)$必大于0，那么需要保证$p_{min}(Q)$也大于0。

正定矩阵的特征值都是正数

$$Q=\left[\begin{array}{cc}-4\alpha \epsilon +\lambda (\beta +4{\epsilon }^2)& -\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)+\alpha -\lambda \epsilon \\ -\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)+\alpha -\lambda \epsilon & 2\epsilon \end{array}\right]$$

不妨直接取
$$\alpha =\lambda \epsilon +\frac{1}{2}(\beta +4{\epsilon }^2)$$
这样的话可以简化一下
$$Q=\left[\begin{array}{cc}(\lambda -2\epsilon )(\beta +4{\epsilon }^2)-4\lambda {\epsilon }^2& 0\\ 0& 2\epsilon \end{array}\right]$$
所以 $Q$ 的特征根为
$$\{\begin{array}{l}{p}_1=(\lambda -2\epsilon )(\beta +4{\epsilon }^2)-4\lambda {\epsilon }^2\\ p_2=2\epsilon \end{array}$$
由于 $\epsilon >0$ 所以 $p_2>0$非常显然，现在只需要保证 $p_1>0$，则可以有
$$\lambda >\frac{2\epsilon (\beta +4{\epsilon }^2)}{\beta }$$

重写李雅普诺夫函数

上一节中给出了保证 $Q$ 正定性的条件，但是 $\alpha$ 和 $\lambda$ 这两个参数值是人为给出的，因此需要把这两个参数加入到李雅普诺夫函数中来
$$V=V_0+\frac{1}{2{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast }{)}^2+\frac{1}{2{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast }{)}^2$$
其中 ${\lambda }^{\ast }{\alpha }^{\ast }$ 为未知常数，对其求导
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& ={\dot{V}}_0+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }\le -r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }\\ & =-r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\end{array}$$
根据 $(x^2+y^2+z^2)\le |x|+|y|+|z|$ 有
$$-r{V}_0^{\frac{1}{2}}-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\le -{\left[r^2{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{{\omega }_1^2}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }{|}^2+\frac{{\omega }_2^2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }{|}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$$
设 $r,{\omega }_1,{\omega }_2$ 中最小的数为 $n$，则上式为
$${\left[r^2{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{{\omega }_1^2}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }{|}^2+\frac{{\omega }_2^2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }{|}^2\right]}^{\frac{1}{2}}\le -n\left[V_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }{|}^2+\frac{1}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }{|}^2\right]=-n{V}^{\frac{1}{2}}$$
带入 $\dot{V}$ 有
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& \le -r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\\ & \le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\end{array}$$
由于 ${\lambda }^{\ast }{\alpha }^{\ast }$ 为未知常数，那我们假设 ${\lambda }^{\ast }>\lambda ，{\alpha }^{\ast }>\alpha$ ，总能找到两个常数满足这两个条件
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& \le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}(\lambda -{\lambda }^{\ast })\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}(\alpha -{\alpha }^{\ast })\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\\ & =-n{V}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{{\gamma }_1}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|\dot{\lambda }-\frac{1}{{\gamma }_2}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}|\lambda -{\lambda }^{\ast }|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}|\alpha -{\alpha }^{\ast }|\\ & =-n{V}^{\frac{1}{2}}+|\lambda -{\lambda }^{\ast }|(\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}-\frac{\dot{\lambda }}{{\gamma }_1})+|\alpha -{\alpha }^{\ast }|(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\lambda }}{{\gamma }_2})\end{array}$$
此时若令
$$\dot{\lambda }={\omega }_1\sqrt{\frac{{\gamma }_1}{2}}$$
则
$$\dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}+|\lambda -{\lambda }^{\ast }|(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\alpha }}{{\gamma }_2})=-n{V}^{\frac{1}{2}}+\eta$$
其中
$$\eta =|\lambda -{\lambda }^{\ast }|(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\alpha }}{{\gamma }_2})$$
所以此系统具有李雅普诺夫稳定性，尽管有 $\eta$ 存在，系统仍然可以在一定程度上保持稳定，原因在于我们证明了 $\dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}\le 0$ 而不是传统的 $\dot{V}\le 0$