第四章 相似矩阵与矩阵对角化

引言

1. 题型总结中推荐例题有蓝皮书的题型较为重要，只有吉米多维奇的题型次之。
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知识点思维导图

补充：

1. 特征值可以为零。
2. 说特征向量要指明是哪个特征值对应的特征向量。
3. n阶上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。
4. 矩阵无除法。即 $A^{-1}B=\frac{1}{A}B\ne \frac{B}{A}$
5. 若λ是矩阵A的特征值，α是λ对应的特征向量，则$c\alpha$也是λ的特征向量。（c为常数）
6. ${\alpha }_1，{\alpha }_2$是$A$的特征向量，则$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2$也是$A$的特征向量。（$c_1,c_2$为常数）
7. 一个特征值可以对应多个特征向量，一个特征向量只能对应一个特征值。
8. 若A、B相似，则A、B同时可逆或同时不可逆。

易错点

1. 书写特征方程式，一定要注意检查式子写的是否正确，这步出错了，后面就都会错。

题型总结

一、求特征值和特征向量

1. 步骤：
   1）列特征方程求出特征值。
   2）取一个λ代入 $A-\lambda E$，并化为行最简形。
   3）根据行最简矩阵，写出同解方程组。说明自由变量，令自由变量。
   4）得基础解系，从而得特征向量。
2. 关于解特征方程方法：
   1）不要完全展开，否则会得到三次方程。
   2）把某行尽可能化为零，再按行展开。
   3）提含λ的公因子。
   4）注意相反数、相同数和行（列）之和相同。

二、实对称阵对角化

1. 步骤：
   1）求矩阵A的特征值。
   2）求特征向量。
   3）将特征值向量正交化、单位化。
   4）正交单位向量作为列向量构成一个正交矩阵$P$，可使$P^{-1}AP=\Lambda$。（Λ是以A的特征值做为主对角线元素的对角阵）
2. 注意：
   1）若三个特征值均为单根，那么对应特征向量已正交，直接单位化即可；
   2）若为一个单根和两个重根，仅对两个重根进行正交化，再将三个一起单位化；
   3）若为一个三重根，则三个都要正交化并单位化。

其余题型

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方法心得

1. 施密特正交化的公式要记好。

参考资料：
［1］安徽理工大学数学系. 线性代数（第三版修订）. 天津：天津科学技术出版社, 2019.
［2］安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题（第二版）. 天津：天津科学技术出版社, 2016.
［3］张天德. 线性代数习题精选精解. 山东：山东科学技术出版社, 2009.
［4］《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师